深度神经网络的学习基于两个关键技术:

  • Stochastic Gradient Descent
  • Backpropagation

利用 SGD 算法学习 Weights 和 Biases,利用 Backpropagation 算法来快速计算 Cost Function 的 Gradient 。

反向传播是一种快速的学习算法,能够让我们深入地了解改变 Weights 和 Biases 的值,是如何改变整个网络的行为的。

Weights

  • $W_{jk}^{l}$表示从第 $l-1$ 层的第 k 个神经元,到第 $l$ 层的第 $j$ 个神经元的连接的权重。

Biases and Activations

  • $b_j^l$ 表示第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的 Biases
  • $a_j^l$ 表示第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的 Activations(激活值)

神经元的视角

每个神经元的激活值可以这样表示:

$$

a_j^l = \sigma \left(\sum_k w_{jk}^{l} a_{k}{l-1}+b_{j}{l}\right)

$$

层视角

通过使用矩阵:

  • 每一层 $l$ 定义一个权重矩阵 $w^l$ ,$w^l$ 中的第 $j$ 行第 $k$ 列的元素就是 $w_{jk}^{l}$ 。
  • $b^l$ 代表第 $l$ 层的 Biases 向量。
  • 将 $\sigma$ 函数向量化,即对向量 $v$ 中的每一项,都单独地应用 $\sigma$ 函数,记为 $\sigma(v)$ 。
  • $a^l$代表第 $l$ 层的神经元的激活值向量。

每层的激活值可以这样表示:

$$

a^l = \sigma ( w^l a^{l-1} + b^l )

$$

  1. 将权值矩阵作用于上一层的激活值
  2. 然后加上偏置向量
  3. 最后用 $\sigma$ 函数作用于这个结果
  4. 就得到了本层的激活值

Weighted Input

$z^l \equiv w^l a^{l-1} + b^l$ ,$z^l$ 成为对第 $l$ 层神经元激活函数的加权输入。

$$

a^l = \sigma (z^l)

$$

Cost Function 的两个假设

MSE代价函数:

$$

C = \frac{1}{2n} \sum_x ||y(x)-aL(x)||2

$$

  • n是训练样本数量
  • $\sum_x$是对每个独立训练样本 $x$ 求和
  • $y=y(x)$ 是每个独立训练样本 $x$ 的预期输出结果
  • $L$ 是神经网络的层数
  • $a^L = a^L (x)$是输入为 $x$ 时网络的激活函数的输出向量

为了能够使用反向传播,我们需要对代价函数C进行两个假设。

假设一

假设代价函数能够写成这样的形式

$$

C = \frac{1}{n} \sum_x C_x

$$

  • $C_x$ 是每个独立训练样本 $x$ 的代价函数。

当代价函数是MSE时,$C_x = \frac{1}{2} ||y-a||^2$ 。

假设二

假设代价函数可以写成关于神经网络输出结果的函数

MSE代价函数满足这个要求,因为单一训练样本x的二次代价可以表示为:

$$

C = \frac{1}{2} ||y-aL||2 = \frac{1}{2} \sum_j ( y_j - a_j^L )^2

$$

因为输入的训练样本 x 是固定的,所以期望的输出 y 也是固定的。x 和 y 不是神经网络所学习的东西,我们不能通过改变 Weights 和 Biases 来修改它。

所以这里可以把 C 视为是只关于输出 $a^L$ 的函数。

Hadamard Product

反向传播会用到 Hadamard Product ,假设 s 和 t 两个向量有相同的维数

$$

( s \odot t )_j = s_j t_j

$$

其中,$s \odot t$ 表示两个向量的对应元素相乘

反向传播背后的四个基本等式

$$

\delta^L = \nabla a C \odot \sigma'(z^L) \

\delta^l = ((w{l+1})T \delta^{l+1}) \odot \sigma' (z^l) \

\frac{\partial C}{\partial b_j^l} = \delta_j^l \

\frac{\partial C}{\partial w_{jk}^l} = a_{k}^{l-1} \delta_j^l

$$

反向传播算法

输入一组训练数据

对于训练数据中的每个样本 x

计算输入层的激活函数值 $a^{x,1}$,并执行下面的步骤:

Feedforward(正向传播)

计算样本x在每一层的激活函数值 $a^{x,l}$

$$

l=2,3,\dots ,L \

z^{x,l} = w^l a^{x,l-1} + b^l \

a^{x,l} = \sigma ( z^{x,l} )

$$

输出层的误差

计算样本x在输出层的误差向量

$$

\delta^{x,L} = \nabla_a C_x \odot \sigma' ( z^{x,L} )

$$

将误差反向传播

使用输出层的误差,计算样本x在之前每一层的误差

$$

l = L-1,L-2,\dots ,2 \

\delta^{x,l} = (( w^{l+1} )^T \delta^{x,l+1} ) \odot \sigma'( z^{x,l} )

$$

Gradient Descent

使用样本x在每一层的误差,更新 Weights 和 Biases

$$

l = L,L-1,\dots,2 \

w^l \rightarrow w^l - \frac{\eta}{m} \sum_x \delta^{x,l} (a{x,l-1})T\

b^l \rightarrow b^l - \frac{\eta}{m} \sum_x \delta^{x,l}

$$

反向传播算法的实现

初始化网络

self.num_layers = len(sizes)
self.sizes = sizes
self.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]
self.weights = [np.random.randn(y, x)
for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

对于5层的神经网络,初始化后 Weights 和 Biases 的结构如下

size = [748, 40, 30, 20, 10]

biases  [(40, 1), (30, 1), (20, 1), (10, 1)]
weights [(40, 784), (30, 40), (20, 30), (10, 20)]

随机梯度下降

随机

def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta,
test_data=None):
for j in range(epochs):
# 随机打散
random.shuffle(training_data)
# 分批
mini_batches = [
training_data[k:k+mini_batch_size]
for k in range(0, n, mini_batch_size)]
for mini_batch in mini_batches:
# 使用小批样本快速学习
self.update_mini_batch(mini_batch, eta)
if test_data:
print("Epoch {} : {} / {}"
.format(j,self.evaluate(test_data),n_test));
else:
print("Epoch {} complete".format(j))

梯度下降

def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):
# 每一层每个神经元的偏置和权值
nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights] for x, y in mini_batch:
# 对于每一个样本x,反向传播,计算每一层每个神经元的梯度
delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)
# 将样本x的误差梯度汇总到批次梯度上
nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb
in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]
nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw
in zip(nabla_w, delta_nabla_w)] # 使用批次梯度更新权值和偏置
self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw
for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]
self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb
for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]

反向传播

def backprop(self, x, y):
# 每一层的偏置向量和权值矩阵
nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights] # 正向传播
activation = x
activations = [x] # 样本x在每一层的激活值向量
zs = [] # 样本x在每一层的加权输入向量 # 逐层计算样本x在加权输入向量和激活值向量
for b, w in zip(self.biases, self.weights):
z = np.dot(w, activation)+b
zs.append(z)
activation = sigmoid(z)
activations.append(activation) # 反向传播 # 计算样本x在输出层的误差和梯度
delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \
sigmoid_prime(zs[-1])
nabla_b[-1] = delta
nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose()) # 使用输出层的误差和梯度,逐层向前计算样本x在每一层的误差梯度和权值梯度
for l in range(2, self.num_layers):
z = zs[-l]
sp = sigmoid_prime(z)
delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
nabla_b[-l] = delta
nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
return (nabla_b, nabla_w)

反向传播算法为什么更高效

待更新

反向传播整体描述

我们对 $w_{jk}^{l}$ 作出一个小的改变$\triangle w_{jk}^l$

这个改变量会导致与它相连的神经元的输出激活值改变

然后,这个激活着会影响下一层的所有激活值

这样一层一层地,最终引起代价函数的改变,并且这个改变我们可以算出。

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