枚举子集&高位前缀和

最近做的题里面有这个东西，于是写一篇博客总结一下吧。

枚举子集

枚举子集就是状压的时候枚举其中的二进制位中的1的子集。直接暴力枚举二进制位时间复杂度是\(O(4^n)\)，但是我们可以发现，对于每一位有以下三种状态，在枚举的子集中为1，在子集中为0且在原状态中为1，以及在原状态中为0。这样，对于1到\(2^n\)的数中，子集的总数为\(3^n\)，这样，通过一些比较优秀的枚举，时间复杂度即为\(O(3^n)\)。代码如下：

for(int i=s;;i=(i-1)&s) {
	//do sth...
	if(!i) break;
}

其中，对于每次循环的i，枚举的即是s的子集。

枚举补集的道理和枚举子集是一样的，因为枚举补集就相当于枚举0的子集。

例题：[noip 2017] 宝藏。

---

高维前缀和

高维前缀和就是说把原来的数组变为其下标的子集的元素之和，高维差分就是把这个反着干，暴力的复杂度就是\(O(3^n)\)。

还有一种方法可以在\(O(n*2^n)\)中完成高维前缀和，代码如下：

for(int i=1;i<s;i<<=1)
	for(int j=0;j<s;j++)
		if(i&j) f[j]+=f[i^j];

高维差分大概就是把枚举顺序改改就差不多了。

例题：

HDU5765

题意大概就是给定n个点m条边的无向图，求出其中每条边在图的(最小)割上出现了几次，n<=20。图的割为一个边的集合，断开这些边后图不连通。图的(最小)割定义为不存在其他的割为他的子集。

很显然，可以用状态压缩枚举一个联通块来表示一个割，该位为1表示在联通块内。如果一个状态及其补集均为联通块，则该联通块对应了一个割。

对于所有的割做一个高维前缀和，对于每一条边，其两端点所对应的状态即为该边不在任何一个割内的答案。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Maxn=2100000;

int t,n,m,l[Maxn],r[Maxn],g[Maxn],f[Maxn],dp[Maxn];

int main() {
	scanf("%d",&t);
	for(int o=1;o<=t;o++) {
		printf("Case #%d:",o);
		scanf("%d%d",&n,&m);
		int end=(1<<n)-1,ans=0;
		memset(g,0,sizeof(g));
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
			g[l[i]]|=1<<r[i];
			g[r[i]]|=1<<l[i];
		}
		dp[0]=1;
		for(int i=1;i<=end;i++)
			if((i&(-i))!=i)
				for(int j=0,temp=1;j<n;j++,temp<<=1)
					if(i&temp&&(dp[i]=dp[i^temp]&&(i&g[j])))
						break;
					else;
			else dp[i]=1;
		dp[0]=0,dp[end]=0;
		for(int i=1;i<=end;i++)
			f[i]=dp[i]&dp[(~i)&end],ans+=f[i];
		ans/=2;
		for(int i=0,temp=1;i<n;i++,temp<<=1)
			for(int j=1;j<=end;j++)
				if((j&temp)==0) f[j]+=f[j^temp];
		for(int i=1;i<=m;i++) printf(" %d",ans-f[(1<<l[i])|(1<<r[i])]);
		puts("");
	}
	return 0;
}