Loj #2495. 「AHOI / HNOI2018」转盘

题目描述

一次小 G 和小 H 原本准备去聚餐，但由于太麻烦了于是题面简化如下：

一个转盘上有摆成一圈的 $n$ 个物品（编号 $1$ 至 $n$）其中第 $i$ 个物品会在 $T_i$ 时刻出现。

在 $0$ 时刻时,小 G 可以任选 $n$ 个物品中的一个，我们将其编号记为 $s_0$。并且如果 $i$ 时刻选择了物品 $s_i$，那么 $i + 1$ 时刻可以继续选择当前

物品或者选择下一个物品。当 $s_i$ 为 $n$ 时，下一个物品为物品 $1$，否则下一个物品为 $s_{i} + 1$。在每一时刻（包括 $0$ 时刻），如果小 G 所选择

的物品已经出现了，那么小 G 将会标记它。小 H 想知道，在物品选择的最优策略下，小 G 什么时候能标记所有物品？

但麻烦的是，物品的出现时间会不时修改。我们将其描述为 $m$ 次修改，每次修改将改变其中一个物品的出现时间。每次修改之后，你也需要求出当前局面的答案。对

于其中部分测试点，小 H 还追加了强制在线的要求。

输入格式

第一行三个非负整数 $n,m,p$，代表一共有 $n$ 个物品，$m$ 次修改。$p$ 只有 $0$ 或 $1$ 两种取值，强制在线时 $p$ 为 $1$，否则为 $0$。本节后面将

解释如何使用 $p$。

接下来一行，有 $n$ 个用空格隔开的非负整数，第 $i$ 个数 $T_i$ 代表物品 $i$ 的出现时间。

接下来 $m$ 行，每行两个非负整数 $x,y$，代表一次修改及询问。修改方式如下：

* 如果 $p = 0$，则表示物品 $x$ 的出现时间 $T_x$ 修改为 $y$。

* 如果 $p = 1$，则先将 $x$ 和 $y$ 分别异或 $LastAns$ 得到 $x′$ 和 $y′$：即 $x′ = x \oplus LastAns, y′ = y \oplus LastAns$。然后将

物品 $x′$ 的出现时间 $T_{x′}$ 修改为 $y′$ 。其中的 $LastAns$ 是前一个询问的答案；特别的，第一次修改时的 $LastAns$ 为初始局面的答案。其中的

$\oplus$ 为按位异或运算，例如 $1 \oplus 2 = 3,4 \oplus 5 = 1,6 \oplus 11 = 13$。

输出格式

第一行一个整数代表初始局面的答案。

接下来 $m + 1$ 行每行一个整数分别代表每次修改后的答案。

数据范围与提示

$n,m\leq 10^5$

跟“【BZOJ2957】楼房重建 ”做法类似。

首先我们将环倍长为链。最优解一定可以为：从某个点出发，一直走，如果当前点还没有出现就等到其出现为止。

假设从第$i$个点出发，最后一次等待在第$j$个点，则答案为$T_j+(i+n-1)-j$。现在问题就是找到$j$。如果上一次在$k$处等待，下一次要在$j$处等待，则

\[T_k+j-k<T_k\\
\Rightarrow T_k-k<T_j-j
\]

设$val_i=T_i-i$，则$j$就是$val$最大的位置。

所以：

\[ans=\min_{1\leq i\leq n}\{\max_{i\leq j\leq i+n-1}\{val_j+i+n-1\}\}\\
=\min_{1\leq i\leq n}\{\max_{i\leq j\leq i+n-1}\{val_j+i\}\}+n-1
\]

我们可以发现$val_i>val_{i+n}$，所以：

\[ans=\min_{1\leq i\leq n}\{\max_{i\leq j\leq 2*n}\{val_j+i\}\}+n-1
\]

相当于对每个$i$，我们要得后缀的最大值。

我们对每个线段树节点，记录下在右儿子影响下，左儿子的答案（如果它是叶子，则答案就是它本身）。上传标记的时候，我们记下右儿子的$val$的最大值$mx$，递归处理左儿子。

对于左儿子，如果它的右儿子中的最大值$>mx$，那么左儿子的答案不会改变，递归右儿子；否则右儿子的答案一定是右儿子的左端点$+mx$，然后递归处理左儿子。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 200005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m,type;

int T[N];

int val[N];

int ans;

struct tree {

	int l,r;

	int mx;

	int ans;

}tr[N<<3];

int query(int v,int mx) {

	if(tr[v].l==tr[v].r) return tr[v].l+max(tr[v].mx,mx);

	if(tr[v<<1|1].mx>=mx) {

		return min(tr[v].ans,query(v<<1|1,mx));

	} else {

		return min(query(v<<1,mx),tr[v<<1].r+1+mx);

	}

}

void update(int v) {

	tr[v].mx=max(tr[v<<1].mx,tr[v<<1|1].mx);

	tr[v].ans=query(v<<1,tr[v<<1|1].mx);

}

void build(int v,int l,int r) {

	tr[v].l=l,tr[v].r=r;

	if(l==r) {

		tr[v].mx=val[l];

		tr[v].ans=l+val[l];

		return ;

	}

	int mid=l+r>>1;

	build(v<<1,l,mid),build(v<<1|1,mid+1,r);

	update(v);

}

void Modify(int v,int p) {

	if(tr[v].l>p||tr[v].r<p) return ;

	if(tr[v].l==tr[v].r) {

		tr[v].mx=val[p];

		tr[v].ans=p+val[p];

		return ;

	}

	Modify(v<<1,p),Modify(v<<1|1,p);

	update(v);

}

int main() {

	n=Get(),m=Get(),type=Get();

	for(int i=1;i<=n;i++) T[i]=Get();

	for(int i=1;i<=n;i++) T[i+n]=T[i];

	for(int i=1;i<=2*n;i++) val[i]=T[i]-i;

	build(1,1,2*n);

	cout<<(ans=tr[1].ans+n-1)<<"\n";

	while(m--) {

		int x=Get()^(type*ans),y=Get()^(type*ans);

		T[x]=T[x+n]=y;

		val[x]=T[x]-x,val[x+n]=T[x+n]-(x+n);

		Modify(1,x),Modify(1,x+n);

		cout<<(ans=tr[1].ans+n-1)<<"\n";

	}

	return 0;

}