Loj #2494. 「AHOI / HNOI2018」寻宝游戏

题目描述

某大学每年都会有一次 Mystery Hunt 的活动，玩家需要根据设置的线索解谜，找到宝藏的位置，前一年获胜的队伍可以获得这一年出题的机会。

作为新生的你对这个活动非常感兴趣。你每天都要从西向东经过教学楼一条很长的走廊，这条走廊是如此的长，以至于它被人戏称为 infinite corridor。一次，你经过这条走廊的时，注意到在走廊的墙壁上隐藏着 $n$ 个等长的二进制的数字，长度均为 $m$。你从西向东将这些数字记录了下来，形成一个含有 $n$ 个数的二进制数组 $a_1, a_2, ..., a_n$。很快，在最新的一期 Voo Doo 杂志上，你发现了 $q$ 个长度也为 $m$ 的二进制串 $r_1, r_2, ..., r_q$。聪明的你很快发现了这些数字的含义。保持数组 $a_1, a_2, ..., a_n$ 的元素顺序不变,你可以在它们之间插入 $\wedge$（按位与运算）或者 $\vee$（按位或运算）两种二进制运算符。例如：$11011 \wedge 00111=00011,11011 \vee 00111=11111$。

你需要插入恰好 $n$ 个运算符,相邻两个数之间恰好一个，在第一个数的左边还有一个。如果我们在第一个运算符的左边补入一个 $0$，这就形成了一个运算式，我们可以计算它的值。与往常一样,运算顺序是从左往右。有趣的是,出题人已经告诉你这个值的可能的集合——Voo Doo 杂志里的那一些二进制数 $r_1, r_2, ..., r_q$，而解谜的方法,就是对 $r_1, r_2, ..., r_q$ 中的每一个值 $r_i$，分别计算出有多少种方法填入这 $n$ 个运算符,使得这个运算式的值是 $r_i$ 。然而，infinite corridor 真的很长，这意味着数据范围可能非常大。因此，答案也可能非常大，但是你发现由于谜题的特殊性，你只需要求答案模 $1000000007$（$10^9 + 7$，一个质数）的值。

输入格式

第一行三个数 $n, m, q$，含义如题所述。

接下来 $n$ 行，其中第 $i$ 行有一个长度为 $m$ 的二进制串，左边是最高位，表示 $a_i$。

接下来 $q$ 行，其中第 $i$ 行有一个长度为 $m$ 的二进制串，左边是最高位，表示 $r_i$。

输出格式

输出 $q$ 行，每行一个数,其中第 $i$ 行表示对应于 $r_i$ 的答案。

数据范围与提示

对于 $10\%$ 的数据，$n \le 20, m \le 30$，$q = 1$

对于另外 $20\%$ 的数据，$n \le 1000$，$m \le 16$

对于另外 $40\%$ 的数据，$n \le 500$，$m \le 1000$

对于 $100\%$ 的数据，$1 \le n \le 1000$，$1 \le m \le 5000$，$1 \le q \le 1000$

$\\$

$myy$的题就是神仙啊！

首先我们对每一位单独考虑，再将$m$位的一起考虑。

我们将操作序列也定义为一个$01$串。如果是$and$操作，则为$1$，否则为$0$。

我们发现：

\[x\ and\ 0=0\\
x\ or\ 1=1
\]

也就是说$\ and\ 0$和$\ or\ 1$本质上是赋值操作。

然后

\[x\ and\ 1=x\\
x\ or\ 0=x
\]

也就是说$\ and\ 1$和$\ or\ 0$后上值不变。

然后考虑第$j$位，如果它应该为$1$，则最后一个赋值操作后第$j$位变成了$1$。然后我们观察操作序列和第$j$列的$01$串之间的关系。赋值操作的时候对应位置上的数不同。所以，我们以$n$为最高位，设第$j$列的数字为$s_j$,操作序列的数字为$R$，则$R>s_j$。

反之，则$R\leq s_j$。

所以我们将$m$列数字排序过后找到上下界就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 1005

#define M 5005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=1e9+7;

int n,m,q;

char a[N][M],r[M];

ll pw2[M];

int len;

const ll maxx=1<<30;

int rk[M];

struct node {

	int id;

	ll val[50];

	bool operator <(const node &x)const {

		for(int i=len;i>=1;i--) if(val[i]!=x.val[i]) return val[i]<x.val[i];

		return id<x.id;

	}

}s[M];

node operator -(node a,node b) {

	for(int i=1;i<=len;i++) {

		if(a.val[i]<b.val[i]) {

			a.val[i+1]--;

			a.val[i]+=maxx;

		}

		a.val[i]-=b.val[i];

	}

	return a;

}

ll bin[N];

int main() {

	n=Get(),m=Get(),q=Get();

	pw2[0]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++) pw2[i]=pw2[i-1]*2%mod;

	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",a[i]+1);

	len=(n-1)/30+1;

	for(int i=1;i<=m;i++) s[i].id=i;

	for(int j=n;j>=1;j--) {

		int now=(j-1)/30+1;

		for(int i=1;i<=m;i++) {

			s[i].val[now]=(s[i].val[now]<<1)|(a[j][i]-'0');

		}

	}

	sort(s+1,s+1+m);

	for(int i=1;i<=m;i++) rk[s[i].id]=i;

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		int now=(i-1)/30+1;

		s[m+1].val[now]=(s[m+1].val[now]<<1)|1;

	}

	for(int i=1;i<len;i++) bin[i]=i*30;

	bin[len]=bin[len-1]+(n-1)%30+1;

	s[0].id=0,s[m+1].id=m+1;

	int tim=0;

	while(q--) {

		scanf("%s",r+1);

		int lx=0,rx=m+1;

		for(int i=1;i<=m;i++) {

			if(r[i]=='1') rx=min(rx,rk[i]);

			else lx=max(lx,rk[i]);

		}

		if(lx>=rx) cout<<0<<"\n";

		else {

			ll ans=0;

			node c=s[rx]-s[lx];

			for(int i=1;i<=len;i++) (ans+=c.val[i]*pw2[bin[i-1]])%=mod;

			if(rx==m+1) ans=(ans+1)%mod;

			cout<<ans<<"\n";

		}

	}

	return 0;

}