【题解】Luogu P4381 [IOI2008]Island

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题意：求基环树森林的直径（所有基环树直径之和）

首先，我们要对环上所有点的子树求出它们的直径和最大深度。然后，我们只用考虑在环上至少经过一条边的路径。那么，这种路径在环上一定有起始点和终点。（假设路径是从起始点开始，按顺时针方向走达到终点）

不妨枚举这段路径在环上的终点。由于规定了这个点和方向，我们就可以拆环了。然后是一个经典的技巧，把环上元素复制一遍，就可以枚举全部拆环方案。设环上有l个结点。那么，我们枚举终点，就相当于在长度为2l的数组上不断滑动一个长度为l的区间

剩下的问题与基环树已经没什么关系了。设环上边权的前缀和为sum，环上结点的子树的最大深度为dep

那么，在环上起始点为i，终点为j的路径能得到的长度就是\(sum_j−sum_i+dep_j+dep_i\)。既然枚举了j，我们在滑动区间时就只用维护\(dep_i−sum_i\)的最大值就可以了。这个可以用单调队列实现

时间复杂度O(n)

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
#define ll long long
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[25];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
inline ll Max(register ll a,register ll b)
{
	return a>b?a:b;
}
struct edge{
	int to,next,w;
}e[N<<1];
int head[N],cnt=0,du[N];
inline void add(register int u,register int v,register int w)
{
	e[++cnt]=(edge){v,head[u],w};
	head[u]=cnt,++du[v];
}
int n,t,vis[N],v[N],qu[N<<1];
ll d[N],f[N],ans,a[N<<1],b[N<<1];
inline void bfs(register int u,register int ti)
{
	vis[u]=ti;
	queue<int> q;
	q.push(u);
	while(!q.empty())
	{
		int v=q.front();
		q.pop();
		for(register int i=head[v];i;i=e[i].next)
			if(!vis[e[i].to])
			{
				q.push(e[i].to);
				vis[e[i].to]=ti;
			}
	}
}
inline void topsort()
{
	queue<int> q;
	for(register int i=1;i<=n;++i)
		if(du[i]==1)
			q.push(i);
	while(!q.empty())
	{
		int v=q.front();
		q.pop();
		for(register int i=head[v];i;i=e[i].next)
			if(du[e[i].to]>1)
			{
				d[vis[v]]=Max(d[vis[v]],f[v]+f[e[i].to]+e[i].w);
				f[e[i].to]=Max(f[e[i].to],f[v]+e[i].w);
				if((--du[e[i].to])==1)
					q.push(e[i].to);
			}
	}
}
inline void dp(register int ti,register int x)
{
	int m=0,i,l=0,r,y=x;
	do{
		a[++m]=f[y];
		du[y]=1;
		for(i=head[y];i;i=e[i].next)
			if(du[e[i].to]>1)
			{
				b[m+1]=b[m]+e[i].w;
				y=e[i].to;
				break;
			}
	}while(i);
	if(m==2)
	{
		for(i=head[y];i;i=e[i].next)
			if(e[i].to==x)
				l=Max(l,e[i].w);
		d[ti]=Max(d[ti],f[x]+f[y]+l);
		return;
	}
	for(i=head[y];i;i=e[i].next)
		if(e[i].to==x)
		{
			b[m+1]=b[m]+e[i].w;
			break;
		}
	for(register int i=1;i<m;++i)
		a[m+i]=a[i],b[m+i]=b[m+1]+b[i];
	qu[l=r=1]=1;
	for(i=2;i<m<<1;++i)
	{
		while(l<=r&&i-qu[l]>=m)
			++l;
		d[ti]=Max(d[ti],a[i]+a[qu[l]]+b[i]-b[qu[l]]);
		while(l<=r&&a[qu[r]]-b[qu[r]]<=a[i]-b[i])
			--r;
		qu[++r]=i;
	}
}
int main()
{
	n=read();
	for(register int i=1;i<=n;++i)
	{
		int v=read(),w=read();
		add(i,v,w),add(v,i,w);
	}
	for(register int i=1;i<=n;++i)
		if(!vis[i])
			bfs(i,++t);
	topsort();
	for(register int i=1;i<=n;++i)
		if(du[i]>1&&!v[vis[i]])
		{
			v[vis[i]]=1;
			dp(vis[i],i);
			ans+=d[vis[i]];
		}
	write(ans);
	return 0;
}