CF915F Imbalance Value of a Tree (并查集)
题目大意:给你一棵树,每个点有点权a_{i},求$\sum _{i=1}^{n} \sum _{j=i}^{n} f(i,j)$,$f(i,j)$表示i,j,路径上的点的最大权值-最小权值
正解的思路好神啊
正解:
首先,原式可以拆成$\sum _{i=1}^{n} \sum _{j=i}^{n} max(i,j) \; - \; \sum _{i=1}^{n} \sum _{j=i}^{n} min(i,j)$
max的求法和min类似,这里只讨论min的求法
把点按照从大到小排序,依次加入树里
感性理解成以当前点的点权作为最小值,那么这个点会向它周围已经被加入树里的联通块"扩散"去更新答案
答案就是这个点周围(剩余联通块的点数-当前联通块的点数)*点权,然后 剩余点数-当前联通块点数
也可以省去减法步骤,把最终答案除以二
并查集维护联通块即可,算上排序,总时间约为$O(nlogn)$
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 1001000
#define ll long long
using namespace std; int gint()
{
int ret=,f=;char c=getchar();
while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){ret=ret*+c-'';c=getchar();}
return ret*f;
}
int n,cte,tim;
int w[N],head[N],use[N];
int fa[N],sz[N];
void init(){for(int i=;i<=n;i++)fa[i]=i,sz[i]=;}
int find_fa(int x){
int y=x,pre;while(fa[y]!=y)y=fa[y];
while(fa[x]!=y){
pre=fa[x],fa[x]=y,x=pre;
}return y;
}
struct node{int id,val;}a[N];
struct Edge{int to,nxt;}edge[N*];
void ae(int u,int v){
cte++;edge[cte].nxt=head[u];
edge[cte].to=v,head[u]=cte;
}
int cmp(node s1,node s2){return s1.val<s2.val;} ll solve1()
{
sort(a+,a+n+,cmp);
int x,y,fx,fy;
init(); ll ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
ll sum=;x=a[i].id;
for(int j=head[x];j;j=edge[j].nxt){
int v=edge[j].to;
if(use[v]){
fy=find_fa(v);
sum+=sz[fy];
}
}sum++;
for(int j=head[x];j;j=edge[j].nxt){
int v=edge[j].to;
if(use[v]){
fy=find_fa(v);
ans+=1ll*(sum-sz[fy])*sz[fy]*a[i].val;
sum-=sz[fy];
fa[fy]=x,sz[x]+=sz[fy];
}
}
use[x]=;
}return ans;
}
ll solve2()
{
memset(use,,sizeof(use));
int x,y,fx,fy;
init(); ll ans=;
for(int i=n;i>=;i--)
{
ll sum=;x=a[i].id;
for(int j=head[x];j;j=edge[j].nxt){
int v=edge[j].to;
if(use[v]){
fy=find_fa(v);
sum+=sz[fy];
}
}sum++;
for(int j=head[x];j;j=edge[j].nxt){
int v=edge[j].to;
if(use[v]){
fy=find_fa(v);
ans+=1ll*(sum-sz[fy])*sz[fy]*a[i].val;
sum-=sz[fy];
fa[fy]=x,sz[x]+=sz[fy];
}
}
use[x]=;
}return ans;
} int main()
{
scanf("%d",&n);
int x,y;
for(int i=;i<=n;i++)
w[i]=a[i].val=gint(),a[i].id=i;
for(int i=;i<n;i++)
x=gint(),y=gint(),ae(x,y),ae(y,x);
ll ans1=solve1();
ll ans2=solve2();
printf("%I64d\n",ans1-ans2);
return ;
}
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