BZOJ 3218 UOJ #77 A+B Problem (主席树、最小割)
大名鼎鼎的A+B Problem, 主席树优化最小割……
调题死活调不对，一怒之下改了一种写法交上去A了，但是改写法之后第4,5个点常数变大很多，于是喜提UOJ全站倒数第三
目前还不知道原来的写法为什么是错的，暂时先写一下A掉的那种写法的题解。
题目链接:
(BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3218
(UOJ) http://uoj.ac/problem/77
题解:
首先不难想到这样的最小割建图: (醒醒吧这种题就别老忘二分图上想了) 下文用\(Edge(u,v,w)\)表示从\(u\)向\(v\)连一条边权为\(w\)的单向边, \(S,T\)分别是源点和汇点
对每一个方格建一个点\(V_i\)，然后\(Edge(S,V_i,b_i), Edge(V_i,T,w_i)\), 这样一来这个点属于\(T\)集(\(S\)的边被割掉了)就表示这个点染成白色(舍弃\(b_i\)代价), 否则染成黑色。
此外对于每个方格再建新点\(E_i\), 然后\(Edge(V_i,E_i,p_i)\), 再对于满足\(1\le j\le i, a_j\in[l_i,r_i]\)的\(j\), \(Edge(E_i,V_j,+\inf)\), 表示那个奇怪的方格的限制
至此网络流建模结束。这个还是比较好想的，然而边数\(O(n^2)\), \(TLE+MLE\)不谢。
然后我们考虑如果只有\(l_i\le a_i\le r_i\)这个限制，我们可以对\(a_i\)排序离散化之后转化成了\(E_i\)这个点要向一个区间内的\(V_j\)连边，这样的话我们可以建出一棵线段树，线段树每个节点向它的两个儿子连边，然后往区间连边相当于往这个区间拆成的\(O(\log n)\)个线段树节点连边，边数\(O(\log n)\).
然而这题……还要\(1\le j\le i\)?
这样我们就要把线段树改成主席树(vfk大毒瘤！)
后面的都是套路: 以\(i\)为历史版本\(a_i\)为下标建主席树，然后主席树的每个节点往儿子连边，其余的连边方式自行思考(很无脑)，详见代码。
有一个地方需要注意: 有种可能是我往主席树里插入一个节点的时候，主席树这个节点上已经有值了。(也就是存在两个\(a_i\)相等的情况)
这怎么办呢？目前我还没有找到一个我认为合理的解决方法，最后直接简单粗暴地离散化的时候不去重，强行把相等变成不等的办法，导致UOJ上第4,5个点常数爆炸跑得和第9,10个点一样慢，全站倒数第三，不过还是过了。
然后是目前这题的一些还未解决的问题，我想到了若干种弥补相等问题的做法，结果全都是50分或者80分，目前相对来说最靠谱的一种(答案和正确答案相差最小)是对于每一个重叠的主席树节点\(T_i\)新建一个点\(T_i'\), \(Edge(T_{fa_i},T_i',+\inf), Edge(T_i',T_i,+\inf), Edge(T_i',T_j',+\inf)\) (\(fa_i\)表示主席树的父亲节点, \(j,j'\)是上一个历史版本的对应节点)。然而还是\(80\)分QAQ……所以哪位大佬能跟我说一下这个到底怎么解决啊，谢谢QwQ
代码实现
离散化时不去重的版本，全站倒数第三
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cassert>
#define llong long long
using namespace std;
const int N = 8e4;
const int M = 1e6;
const llong INF = 100000000000ll;
namespace NetFlow
{
struct Edge
{
int v,nxt,rev; llong w;
} e[(M<<1)+3];
int dep[N+3];
int te[N+3];
int fe[N+3];
int que[N+3];
int n,en,s,t;
void addedge(int u,int v,llong w)
{
// printf("addedge %d %d %lld\n",u,v,w);
en++; e[en].v = v; e[en].w = w;
e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en; e[en].rev = en+1;
en++; e[en].v = u; e[en].w = 0;
e[en].nxt = fe[v]; fe[v] = en; e[en].rev = en-1;
}
bool bfs()
{
for(int i=1; i<=n; i++) dep[i] = 0;
int head = 1,tail = 1; que[1] = s; dep[s] = 1;
while(head<=tail)
{
int u = que[head]; head++;
for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
{
if(dep[e[i].v]==0 && e[i].w)
{
dep[e[i].v] = dep[u]+1;
tail++; que[tail] = e[i].v;
}
}
}
return dep[t]!=0;
}
llong dfs(int u,llong cur)
{
if(u==t) return cur;
llong rst = cur;
for(int i=te[u]; i; i=e[i].nxt)
{
if(dep[e[i].v]==dep[u]+1 && rst>0 && e[i].w>0)
{
llong flow = dfs(e[i].v,min(e[i].w,rst));
if(flow>0)
{
e[i].w-=flow; rst-=flow; e[e[i].rev].w+=flow;
if(e[i].w>0) {te[u] = i;}
if(rst==0) return cur;
}
}
}
if(cur==rst) dep[u] = 0;
return cur-rst;
}
llong dinic()
{
// printf("Dinic n=%d\n",n);
llong ret = 0ll;
while(bfs())
{
for(int i=1; i<=n; i++) te[i] = fe[i];
ret += dfs(s,INF);
}
return ret;
}
}
using NetFlow::addedge;
using NetFlow::dinic;
struct Element
{
llong b,w,p; int a,l,r; int id;
bool operator <(const Element &arg) const
{
return a<arg.a;
}
} a[N+3],b[N+3];
struct SgTNode
{
int ls,rs;
} sgt[N+3];
vector<int> disc;
int rtn[N+3];
int n,siz;
int getdisc(int x)
{
return lower_bound(disc.begin(),disc.end(),x)-disc.begin()+1;
}
void addval(int &pos,int le,int ri,int lrb,int id,llong w1,llong w2,llong w3)
{
siz++; sgt[siz] = sgt[pos];
pos = siz;
if(le==ri) {addedge(1,pos,w1); addedge(pos,id,w3); addedge(pos,2,w2); return;}
int mid = (le+ri)>>1;
if(lrb<=mid) {addval(sgt[pos].ls,le,mid,lrb,id,w1,w2,w3);}
else {addval(sgt[pos].rs,mid+1,ri,lrb,id,w1,w2,w3);}
if(sgt[pos].ls) {addedge(pos,sgt[pos].ls,INF);} //Judge 0
if(sgt[pos].rs) {addedge(pos,sgt[pos].rs,INF);}
}
void AddEdge(int pos,int le,int ri,int lb,int rb,int id)
{
if(pos==0) return;
if(lb<=le && rb>=ri) {addedge(id,pos,INF); return;}
int mid = (le+ri)>>1;
if(lb<=mid) {AddEdge(sgt[pos].ls,le,mid,lb,rb,id);}
if(rb>mid) {AddEdge(sgt[pos].rs,mid+1,ri,lb,rb,id);}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d%lld%lld%d%d%lld",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].w,&a[i].l,&a[i].r,&a[i].p); a[i].id = i;
disc.push_back(a[i].a);
}
sort(disc.begin(),disc.end());
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
a[i].l = getdisc(a[i].l);
a[i].r = getdisc(a[i].r+1)-1;
if(a[i].l<1) a[i].l = 1;
if(a[i].r>disc.size()) a[i].r = disc.size();
a[i].a = i;
b[a[i].id] = a[i];
}
for(int i=1; i<=n; i++) a[i] = b[i];
// for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d %lld %lld %d %d %lld\n",a[i].a,a[i].b,a[i].w,a[i].l,a[i].r,a[i].p);
siz = n+2;
rtn[0] = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
// printf("i%d:\n",i);
rtn[i] = rtn[i-1];
addval(rtn[i],1,disc.size(),a[i].a,i+2,a[i].b,a[i].w,a[i].p);
AddEdge(rtn[i-1],1,disc.size(),a[i].l,a[i].r,i+2);
// printf("siz=%d\n",siz);
// for(int j=1; j<=i; j++) printf("rtn[%d]=%d\n",j,rtn[j]);
// for(int j=n+3; j<=siz; j++) printf("i%d ls%d rs%d\n",j,sgt[j].ls,sgt[j].rs);
// puts("");
}
NetFlow::n = siz; NetFlow::s = 1; NetFlow::t = 2;
llong ans = 0ll;
for(int i=1; i<=n; i++) ans += a[i].b+a[i].w;
ans = ans-dinic();
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
/*
3
3 1 6 2 2 3
3 2 9 1 5 8
4 3 8 2 4 7
*/
附: 80分代码
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cassert>
#define llong long long
using namespace std;
const int N = 8e4;
const int M = 1e6;
const llong INF = 100000000000ll;
namespace NetFlow
{
struct Edge
{
int v,nxt,rev; llong w;
} e[(M<<1)+3];
int dep[N+3];
int te[N+3];
int fe[N+3];
int que[N+3];
int n,en,s,t;
void addedge(int u,int v,llong w)
{
// printf("addedge %d %d %lld\n",u,v,w);
en++; e[en].v = v; e[en].w = w;
e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en; e[en].rev = en+1;
en++; e[en].v = u; e[en].w = 0;
e[en].nxt = fe[v]; fe[v] = en; e[en].rev = en-1;
}
bool bfs()
{
for(int i=1; i<=n; i++) dep[i] = 0;
int head = 1,tail = 1; que[1] = s; dep[s] = 1;
while(head<=tail)
{
int u = que[head]; head++;
for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
{
if(dep[e[i].v]==0 && e[i].w)
{
dep[e[i].v] = dep[u]+1;
tail++; que[tail] = e[i].v;
}
}
}
return dep[t]!=0;
}
llong dfs(int u,llong cur)
{
if(u==t) return cur;
llong rst = cur;
for(int i=te[u]; i; i=e[i].nxt)
{
if(dep[e[i].v]==dep[u]+1 && rst>0 && e[i].w>0)
{
llong flow = dfs(e[i].v,min(e[i].w,rst));
if(flow>0)
{
e[i].w-=flow; rst-=flow; e[e[i].rev].w+=flow;
if(e[i].w>0) {te[u] = i;}
if(rst==0) return cur;
}
}
}
if(cur==rst) dep[u] = 0;
return cur-rst;
}
llong dinic()
{
// printf("Dinic n=%d\n",n);
llong ret = 0ll;
while(bfs())
{
for(int i=1; i<=n; i++) te[i] = fe[i];
ret += dfs(s,INF);
}
return ret;
}
}
using NetFlow::addedge;
using NetFlow::dinic;
struct Element
{
llong b,w,p; int a,l,r;
} a[N+3];
struct SgTNode
{
int ls,rs,prv;
} sgt[N+3];
vector<int> disc;
int rtn[N+3];
int n,siz;
int getdisc(int x)
{
return lower_bound(disc.begin(),disc.end(),x)-disc.begin()+1;
}
void addval(int &pos,int le,int ri,int lrb,int id,llong w1,llong w2,llong w3,int prv)
{
siz++; sgt[siz] = sgt[pos];
if(le==ri && pos!=0) {siz++; addedge(prv,siz,INF); addedge(siz,siz-1,INF); addedge(siz,sgt[pos].prv,INF); pos = siz-1; sgt[pos].prv = siz;}
else pos = siz,sgt[pos].prv = siz;
if(le==ri) {addedge(1,pos,w1); addedge(pos,id,w3); addedge(pos,2,w2); return;}
int mid = (le+ri)>>1;
if(lrb<=mid) {addval(sgt[pos].ls,le,mid,lrb,id,w1,w2,w3,pos);}
else {addval(sgt[pos].rs,mid+1,ri,lrb,id,w1,w2,w3,pos);}
if(sgt[pos].ls) {addedge(pos,sgt[pos].ls,INF);} //Judge 0
if(sgt[pos].rs) {addedge(pos,sgt[pos].rs,INF);}
}
void AddEdge(int pos,int le,int ri,int lb,int rb,int id)
{
if(pos==0) return;
if(lb<=le && rb>=ri) {addedge(id,pos,INF); return;}
int mid = (le+ri)>>1;
if(lb<=mid) {AddEdge(sgt[pos].ls,le,mid,lb,rb,id);}
if(rb>mid) {AddEdge(sgt[pos].rs,mid+1,ri,lb,rb,id);}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d%lld%lld%d%d%lld",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].w,&a[i].l,&a[i].r,&a[i].p);
disc.push_back(a[i].a);
}
sort(disc.begin(),disc.end());
disc.erase(unique(disc.begin(),disc.end()),disc.end());
for(int i=1; i<=n; i++)
{
a[i].a = getdisc(a[i].a);
a[i].l = getdisc(a[i].l);
a[i].r = getdisc(a[i].r+1)-1;
if(a[i].l<1) a[i].l = 1;
if(a[i].r>disc.size()) a[i].r = disc.size();
}
// for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d %lld %lld %d %d %lld\n",a[i].a,a[i].b,a[i].w,a[i].l,a[i].r,a[i].p);
siz = n+2;
rtn[0] = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
// printf("i%d:\n",i);
rtn[i] = rtn[i-1];
addval(rtn[i],1,disc.size(),a[i].a,i+2,a[i].b,a[i].w,a[i].p,0);
AddEdge(rtn[i-1],1,disc.size(),a[i].l,a[i].r,i+2);
// printf("siz=%d\n",siz);
// for(int j=1; j<=i; j++) printf("rtn[%d]=%d\n",j,rtn[j]);
// for(int j=1; j<=siz; j++) printf("i%d ls%d rs%d\n",j,sgt[j].ls,sgt[j].rs);
// puts("");
}
NetFlow::n = siz; NetFlow::s = 1; NetFlow::t = 2;
llong ans = 0ll;
for(int i=1; i<=n; i++) ans += a[i].b+a[i].w;
ans = ans-dinic();
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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