接水果(fruit)——整体二分+扫描线

题目

【题目描述】

风见幽香非常喜欢玩一个叫做 osu! 的游戏，其中她最喜欢玩的模式就是接水果。由于她已经 DT FC 了 The big black，她觉得这个游戏太简单了，于是发明了一个更加难的版本。

首先有一个地图，是一棵由 $n$ 个顶点、$n-1$ 条边组成的树（例如图 $1$ 给出的树包含 $8$ 个顶点、$7$ 条边）。这颗树上有 P 个盘子，每个盘子实际上是一条路径（例如图 $1$ 中顶点 $6$ 到顶点 $8$ 的路径），并且每个盘子还有一个权值。第 $i$ 个盘子就是顶点 $a_i$ 到顶点 $b_i$ 的路径(由于是树，所以从 $a_i$ 到 $b_i$ 的路径是唯一的)，权值为 $c_i$。接下来依次会有 $Q$ 个水果掉下来，每个水果本质上也是一条路径，第 $i$ 个水果是从顶点 $u_i$ 到顶点 $v_i$ 的路径。

幽香每次需要选择一个盘子去接当前的水果：一个盘子能接住一个水果，当且仅当盘子的路径是水果的路径的子路径（例如图 $1$ 中从 $3$ 到 $7$ 的路径是从 $1$ 到 $8$ 的路径的子路径）。这里规定：从 $a$ 到 $b$ 的路径与从 $b$ 到 $a$ 的路径是同一条路径。当然为了提高难度，对于第 $i$ 个水果，你需要选择能接住它的所有盘子中，权值第 $k_i$ 小的那个盘子，每个盘子可重复使用（没有使用次数的上限：一个盘子接完一个水果后，后面还可继续接其他水果，只要它是水果路径的子路径）。幽香认为这个游戏很难，你能轻松解决给她看吗？

【输入格式】

第一行三个数 $n$ 和 $P$ 和 $Q$，表示树的大小和盘子的个数和水果的个数。

接下来 $n-1$ 行，每行两个数 $a$、$b$，表示树上的 $a$ 和 $b$ 之间有一条边。树中顶点按 $1$ 到 $n$ 标号。 接下来 $P$ 行，每行三个数 $a$、$b$、$c$，表示路径为 $a$ 到 $b$、权值为 $c$ 的盘子，其中 $0 \leq c \leq 10^9, \ a \neq b$。
 
接下来 $Q$ 行，每行三个数 $u$、$v$、$k$，表示路径为 $u$ 到 $v$ 的水果，其中 $u$ 不等于 $v$，你需要选择第 $k$ 小的盘子，第 $k$ 小一定存在。

【输出格式】

对于每个果子，输出一行表示选择的盘子的权值。

【样例输入】

10 10 10
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
3 2 217394434
10 7 13022269
6 7 283254485
6 8 333042360
4 6 442139372
8 3 225045590
10 4 922205209
10 8 808296330
9 2 486331361
4 9 551176338
1 8 5
3 8 3
3 8 4
1 8 3
4 8 1
2 3 1
2 3 1
2 3 1
2 4 1
1 4 1

【样例输出】

442139372
333042360
442139372
283254485
283254485
217394434
217394434
217394434
217394434
217394434

【数据范围与提示】

对于所有数据，$N,P,Q \leq 40000$。

题解

考虑一个盘子 $ u,v $ 能接到的水果的范围，那么水果的 $ s,t $ 必须分别属于盘子两个的两个子树，问题即转化成 $ s,t $ 属于的第 $k$ 大的盘子

因为一个子树在 dfs 序上是一个区间，一个盘子就是两个区间的包含关系，那么映射到坐标系上盘子就成了一个矩形，水果就成了一个点，问题变成覆盖某一个点的第 $k$ 大的矩形

考虑如何解决，整体二分矩形，判断覆盖个数是否大于，然后左右递归即可

至于判断，类似扫描线的思想，将矩形按一维排序，另一维区间用数据结构（树状数组）维护，单点查询即可

如果水果 $ u,v $ 的 lca 为 $ u $ 或 $ v $ 时，需要特判一下

时间效率：$ O(n \log^2 n) $

代码

 #include<bits/stdc++.h>
 const int N=8e4+;
 using namespace std;
 int n,m,q,tot,fa[N][],dfn[N],tim,last[N],dep[N],ans[N],sum[N],head[N],cnt;
 struct edge{int to,nex;}e[N<<];
 struct Plate{int x1,x2,y1,y2,v;}pla[N];
 struct node{int x,y1,y2,v,id;}eve[N];
 struct fruit{int x,y,k,id;}fru[N],s1[N],s2[N];
 bool cmp(Plate a,Plate b){return a.v<b.v;}
 bool cmp1(node a,node b){return a.x==b.x?a.id<b.id:a.x<b.x;}
 void add(int s,int t){e[++cnt]=(edge){t,head[s]},head[s]=cnt;}

 class Bit{
 public:
     int val[N];
     void modify(int l,int r,int v){
         for (int i=l;i<=n;i+=(i&(-i))) val[i]+=v;
         for (int i=r+;i<=n;i+=(i&(-i))) val[i]-=v;
     }
     int query(int x){int res=;for (;x;x-=(x&(-x))) res+=val[x];return res;}
 }T;

 void dfs(int x){
     dfn[x]=++tim;
     for (int i=;fa[x][i];i++) fa[x][i+]=fa[fa[x][i]][i];
     for (int k=head[x],v;k;k=e[k].nex)
         if ((v=e[k].to)!=fa[x][])
             fa[v][]=x,dep[v]=dep[x]+,dfs(v);
     last[x]=tim;
 }
 int jump(int a,int h){for (int i=;h;i--) if (h>=(<<i)) h-=(<<i),a=fa[a][i];return a;}
 int lca(int a,int b){
     if (dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
     a=jump(a,dep[a]-dep[b]);
     if (a==b) return a;
     for (int i=;i>=;i--) if (fa[a][i]!=fa[b][i]) a=fa[a][i],b=fa[b][i];
     return fa[a][];
 }

 void solve(int l,int r,int st,int ed){
     if (st>ed) return;
     if (l==r){
         for (int i=st;i<=ed;i++) ans[fru[i].id]=pla[l].v;
         return;
     }
     int mid=(l+r)>>,siz=;
     for (int i=l;i<=mid;i++){
         eve[++siz]=(node){pla[i].x1,pla[i].y1,pla[i].y2,,};
         eve[++siz]=(node){pla[i].x2,pla[i].y1,pla[i].y2,-,n+};
     }
     for (int i=st;i<=ed;i++) eve[++siz]=(node){fru[i].x,fru[i].y,,,i};
     sort(eve+,eve++siz,cmp1);
     for (int i=;i<=siz;i++)
         if (st<=eve[i].id&&eve[i].id<=ed) sum[eve[i].id]=T.query(eve[i].y1);
         else T.modify(eve[i].y1,eve[i].y2,eve[i].v);
     int a=,b=;
     for (int i=st;i<=ed;i++) {
         if (sum[i]>=fru[i].k) s1[++a]=fru[i];
         else s2[++b]=(fruit){fru[i].x,fru[i].y,fru[i].k-sum[i],fru[i].id};
     }
     for (int i=st;i<=st+a-;i++) fru[i]=s1[i-st+];
     for (int i=st+a;i<=ed;i++) fru[i]=s2[i-st-a+];
     solve(l,mid,st,st+a-),solve(mid+,r,st+a,ed);
 }

 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
     for (int i=,a,b;i<n;i++) scanf("%d%d",&a,&b),add(a,b),add(b,a);
     dfs();
     for (int i=,a,b,c,u;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);u=lca(a,b);
         if (dfn[a]>dfn[b]) swap(a,b);
         if (u!=a) pla[++tot]=(Plate){dfn[a],last[a],dfn[b],last[b],c};
         else{
             int w=jump(b,dep[b]-dep[a]-);
             pla[++tot]=(Plate){,dfn[w]-,dfn[b],last[b],c};
             if (last[w]<n) pla[++tot]=(Plate){dfn[b],last[b],last[w]+,n,c};
         }
     }
     sort(pla+,pla++tot,cmp);
     for (int i=,a,b,k;i<=q;i++){
         scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
         if (dfn[a]>dfn[b]) swap(a,b);
         fru[i]=(fruit){dfn[a],dfn[b],k,i};
     }
     solve(,tot,,q);
     for (int i=;i<=q;i++) printf("%d\n",ans[i]);
     return ;
 }