【最小生成树之Kruskal算法】

看完之后推荐再看一看【最小生成树之Prim算法】-C++

定义：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或Prim（普里姆）算法求出。 。

​在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得

的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同；另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

这一章主要介绍Kruskal算法。

Kruskal算法的时间复杂度：O（m*log(n)）（点数n边数m）

主要思路：

输入之后对边权值进行排序，然后按边权值从小到大进行合并（merge）操作，如果操作成功（被合并的两个点不在一棵树上），则把这两个顶点的边权值加入总数，最后输出total即可。

主要使用：

“并查集。”

洛谷P3366【模板】最小生成树

这道题我第一次是用Kruskal来写的，具体思路再讲解一下。

首先把get和merge函数写好，为了方便，我把merge写成了bool类型：如果成功合并（要求合并的两个顶点不在一棵树上）就返回true。

然后是最正常的运用结构体进行循环读入，读入完成之后写cmp排序函数按边权值从小到大进行排序。

接下来才和并查集扯上关系，所以要重新定义fa数组，然后进行初始化；

核心代码

	int cnt=0;
    int total=0;
    for(int i=1;i<=p;i++)//p为边数
    {
        if(merge(mp[i].u,mp[i].v))
        {
            cnt++;
            total+=mp[i].w;
            if(cnt==p-1) break;
        }
    }

这段代码主要是为了统计权值和。把权值从最小到最大跑一遍，如果能够合并就合并然后加进total即可。然后就没什么难的了emm。

下面贴代码；

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct noded
{
    int u,v;
    int w;
    noded(){}
    noded(int uu,int vv,int ww)
    {
        u=uu,v=vv,w=ww;
    }
}mp[200010];
bool cmp(noded x,noded y)
{
    return x.w<y.w;
}
int fa[5010];
int get(int x)
{
    if(fa[x]==x)return x;
    else
    {
        fa[x]=get(fa[x]);
        return fa[x];
    }
}
bool merge(int x,int y)
{
    int r1=get(x),r2=get(y);
    if(r1!=r2)
    {
        fa[r1]=r2;
        return true;
    }
    else return false;
}
int ans[250010];
void init()
{
    for(int i=1;i<=5000;i++)
    {
        fa[i]=i;
    }
}
int main()
{
    //sqrt(pow((x1-x2),2)+pow((y1-y2),2));
    int n,p;
    cin>>n>>p;
    for(int i=1;i<=p;i++)
    {
        cin>>mp[i].u>>mp[i].v>>mp[i].w;
    }
    sort(mp+1,mp+1+p,cmp);
    //for(int i=1;i<=k;i++)
    //{
    //  cout<<endl<<mp[i].w;
    //}
    init();
    int cnt=0;
    int total=0;
    for(int i=1;i<=p;i++)
    {
        if(merge(mp[i].u,mp[i].v))
        {
            cnt++;
            total+=mp[i].w;
            if(cnt==p-1) break;
        }
    }
    cout<<total<<endl;
    return 0;
}

ov.