分治 FFT

为啥要叫分治\(fft\)啊，又用不到\(fft……\)

给定长度为\(n-1\)的数组\(g[1],g[2],……,g[n-1]\)，求\(f[1],f[2],……,f[n]\),其中

\[f[i]=\sum\limits_{j=1}^{i}f[j-i]g[j]
\]

边界为\(f[0]=1\)，答案模\(998244353\)

\(2\le n \le 10^5,0\le g[i]< 998244353\)

我们发现这其实是一个关于\(f\)数组的递推式子，但是肯定不能直接递推

考虑每个对\(f[i]\)有贡献的只有\(f[1]\sim f[i-1]\),我们可以用\(cdq\)分治

假设我们求出了\(f[l->mid]\)的答案，想计算对\(f[mid+1->r]\)的贡献

那么对\(t\in [mid+1,r]\)的贡献为 \(val_t=\sum\limits_{i=l}^{mid}f[i]*g[t-i]\)

是一个卷积形式，可以\(ntt\)，得出\(val_t\)后直接加给\(f[t]\)就好了

其实点名是\(cdq\)分治思路就很清晰了吧，不过边界一如既往的恶心我

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
	inline int read()
	{
		int x=0;char ch,f=1;
		for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
		if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
		while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
		return f?x:-x;
	}
	const int N=5e5+10,p=998244353,G=3,gi=332748118;
	int n;
	int g[N],f[N],pos[N];
	int a[N],b[N];
	inline int fast(int x,int k)
	{
		int ret=1;
		while(k)
		{
			if(k&1) ret=ret*x%p;
			x=x*x%p;
			k>>=1;
		}
		return ret;
	}
	inline void ntt(int *a,int inv,int limit)
	{
		for(int i=0;i<limit;++i)
			if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
		for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
		{
			int Wn=fast(inv?G:gi,(p-1)/(mid<<1));
			for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r)
			{
				int w=1;
				for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn%p)
				{
					int x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%p;
					a[j+k]=x+y;
					if(a[j+k]>=p) a[j+k]-=p;
					a[j+k+mid]=x-y;
					if(a[j+k+mid]<0) a[j+k+mid]+=p;
				}
			}
		}
		if(inv) return;
		inv=fast(limit,p-2);
		for(int i=0;i<limit;++i) a[i]=a[i]*inv%p;
	}
	inline void cdq(int l,int r)
	{
		if(l==r) return;
		int mid=(l+r)>>1;
		cdq(l,mid);
		int limit=1,len=0;
		while(limit<=(mid-l+1)*2) limit<<=1,++len;
		for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
		for(int i=0;i<limit;++i) a[i]=b[i]=0;
		for(int i=l;i<=mid;++i) a[i-l]=f[i];
		for(int i=1;i<=r-l+1;++i) b[i-1]=g[i];
		ntt(a,1,limit);ntt(b,1,limit);
		for(int i=0;i<limit;++i) a[i]=a[i]*b[i]%p;
		ntt(a,0,limit);
		for(int i=mid+1;i<=r;++i) (f[i]+=a[i-l-1])%=p;
		cdq(mid+1,r);
	}
	inline void main()
	{
		n=read();
		f[0]=1;
		for(int i=1;i<n;++i) g[i]=read();
		cdq(0,n-1);
		for(int i=0;i<n;++i) printf("%lld ",f[i]);
	}
}
signed main()
{
	red::main();
	return 0;
}