【loj2263】【CTSC2017】游戏

题目

小\(R\)和小\(B\)一共完了\(n\)局游戏，第一局小\(R\)获胜的概率为\(p_i\)，没有平局，对于第$ i $局游戏：

1. 如果第\(i-1\)局游戏小$ R \(获胜，那么第 局游戏小\) R $获胜的概率为 \(p_i\)，小$ B $获胜的概率为 \(1-p_i\)
2. 如果第\(i-1\)局游戏小\(B\)获胜，那么第 局游戏小$ R $获胜的概率为 \(q_i\)，小$ B $获胜的概率为 \(1-q_i\)

有\(m\)次两种操作:

​ 1 \(add \ i \ c\) 加入第\(i\)局比赛的结果；

​ ２$del \ i \(　忘记第\)i$局比赛的结果；

输出每次比赛小\(R\)获胜局数的期望；

\(1 \le n,m \le 200000\)

题解

• 根据期望的线性性考虑每一局获胜的概率，每一局获胜的概率只和相邻的两个确定的局面有关系;

  \[\begin{align}
  &bayes公式:\\
  P(A|B)P(B) &= P(A\ \cap B) \Leftrightarrow P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \\
  &P(x_i=1|x_l=a,x_r=b)(1\lt i \le r)\\
  &=\frac{P(x_i=1,x_l=a,x_r=b)}{P(x_l=a,x_r=b)}\\
  &=\frac{P(x_i=1,x_l=a,x_r=b)}{P(x_l=a)P(x_r=b|x_l=a)}\\
  &=\frac{P(x_i=1,x_r=b|x_l=a)}{P(x_r=b|x_l=a)}\\
  \end{align}
  \]

• 把转移写成矩阵\(A_i\)，注意到分母即\((\Pi_{i>l}^{r}A_i)_{a,b}\)，是个定值

• 分母求和即\((\sum_{i>l}^{r} \ \Pi_{j \gt l}^{j \lt i} A_j \times B_i \times \Pi_{j \gt i}^{j \lt r} A_j)_{a,b}\)，即将\(A_i\)换成一个只允许转移到1的矩阵\(B_i\)，可以用线段树维护

• 插入和删除用\(set\)维护即可

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ls (k<<1)
  #define rs (k<<1|1)
  #define ld double
  #define fi first
  #define se second
  #define ls (k<<1)
  #define rs (k<<1|1)
  using namespace std;
  const int N=200010;
  int n,m;
  char op[10];
  map<int,int>S;
  map<int,int>::iterator it,pre,nxt;
  ld p[N],q[N],ans;
  struct Mat{
  	ld c[2][2];
  	Mat operator +(const Mat&A)const{
  		Mat re;
  		for(int i=0;i<2;++i)
  		for(int j=0;j<2;++j){
  			re.c[i][j]=c[i][j]+A.c[i][j];
  		}
  		return re;
  	}
  	Mat operator *(const Mat&A)const{
  		Mat re;
  		for(int i=0;i<2;++i)
  		for(int j=0;j<2;++j){
  			re.c[i][j]=0;
  			for(int k=0;k<2;++k)re.c[i][j]+=c[i][k]*A.c[k][j];
  		}
  		return re;
  	}
  };
  struct data{Mat mul,sum;}tr[N<<2];
  data operator +(data A,data B){
  	data re;
  	re.mul=A.mul*B.mul;
  	re.sum=A.mul*B.sum+A.sum*B.mul;
  	return re;
  }
  void build(int k,int l,int r){
  	if(l==r){
  		tr[k].mul.c[1][1]=p[l];
  		tr[k].mul.c[1][0]=1-p[l];
  		tr[k].mul.c[0][1]=q[l];
  		tr[k].mul.c[0][0]=1-q[l];
  		tr[k].sum.c[1][1]=p[l];
  		tr[k].sum.c[0][1]=q[l];
  		return;
  	}
  	int mid=(l+r)>>1;
  	build(ls,l,mid);
  	build(rs,mid+1,r);
  	tr[k]=tr[ls]+tr[rs];
  }
  data query(int k,int l,int r,int x,int y){
  	if(l==x&&r==y)return tr[k];
  	int mid=(l+r)>>1;
  	if(y<=mid)return query(ls,l,mid,x,y);
  	else if(x>mid)return query(rs,mid+1,r,x,y);
  	else return query(ls,l,mid,x,mid)+query(rs,mid+1,r,mid+1,y);
  }
  ld ask(int l,int r){
  	data tmp=query(1,0,n+1,l+1,r);
  	return tmp.sum.c[S[l]][S[r]]/tmp.mul.c[S[l]][S[r]];
  }
  int main(){
  //	freopen("game.in","r",stdin);
  //	freopen("game.out","w",stdout);
  	scanf("%d%d%s%lf",&n,&m,op,&p[1]);
  	for(int i=2;i<=n;++i)scanf("%lf%lf",&p[i],&q[i]);
  	p[0]=q[0]=1;
  	S[0]=1;S[n+1]=0;
  	build(1,0,n+1);
  	ans=ask(0,n+1);
  	for(int i=1,x,y;i<=m;++i){
  		scanf("%s%d",op,&x);
  		if(op[0]=='a'){
  			scanf("%d",&y);S[x]=y;
  			it=S.lower_bound(x);
  			pre=it,--pre;nxt=it,++nxt;
  			ans-=ask((*pre).fi,(*nxt).fi);
  			ans+=ask((*pre).fi,(*it).fi);
  			ans+=ask((*it).fi,(*nxt).fi);
  		}else{
  			it=S.lower_bound(x);
  			pre=it,--pre;nxt=it,++nxt;
  			ans-=ask((*pre).fi,(*it).fi);
  			ans-=ask((*it).fi,(*nxt).fi);
  			ans+=ask((*pre).fi,(*nxt).fi);
  			S.erase(it);
  		}
  		printf("%.10lf\n",ans);
  	}
  	return 0;
  }