复数基础及其2D空间的旋转

本文我们讨论复数及其旋转的含义。复数很有意思，本文介绍了复数的基本定义和性质，以及它关于旋转的几何意义。

复数对于旋转的两个方面极为重要：

1. 它引入了旋转算子（rotational operator）的思想：可以通过复数表示一个旋转变换。

2. 它是四元数和多向量的内在属性。

虽然我们暂时不讨论四元数和多向量（后面文章会介绍），但是我们会讨论复数的旋转含义（复平面上的 2D 旋转），以及引入的旋转子（rotor），我们发现通过特定的复数可以描述一个 2D 旋转。

介绍

复数（complex number）又称为数字王国中的“国王”，它可以解决普通实数不能很好解决的问题。

例如，对于以下方程：

$$x^2+1=0$$

尽管方程如此简单，但并没有实数解。实际上，实数无法解决这样的问题：

$$x=\sqrt{-1}$$

但这没有妨碍数学家们找到解决此类问题的方法，他们提出一个很牛很简单的思想，就是承认 $i$ 的存在，它满足 $i^2=-1$，于是前面的方程我们可以解出：

$$x=\pm i$$

那么 $i$ 到底是什么呢？我们可以不必纠结，$i$ 就是数学家提出的数学工具，一个简单的数学对象，满足 $i^2=-1$。本文会探讨这个数学工具对于旋转如何发挥作用。

复数基础

复数的定义

复数由两个部分组成：实部（real part）和虚部（imaginary part）。实部就是我们平常遇到的数（正数、负数、0），而虚部是一个实数和 $i$ 的乘积。

例如，$2+3i$ 是一个复数，2 是实部，$3i$ 是虚部。

复数集就像是实数集的扩展，它包含了所有实数（虚部为 0）。而虚部不为 0 的复数不是实数。以下都属于复数：

• 2
• $2+2i$
• $1-3i$
• $-4i$
• $17i$
• $isin\theta$
• $4.5+icos\theta$

复数的公理

下面的公理体现了复数的性质。对于任意的复数 $z_1$、$z_2$ 和 $z_3$，满足：

• 加法交换律：$z_1+z_2=z_2+z_1$
• 加法结合律：$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$
• 乘法交换律：$z_1z_2=z_2z_1$
• 乘法结合律：$(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$
• 乘法分配律：$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$、$(z_1+z_2)z_3=z_1z_3+z_2z_3$

其实复数的这些加法和乘法的公理和实数一样的。由于复数集里面包含实数集，如果不和实数一致，反而比较奇怪的。

复数的模

模（modulus）有长度的含义。对于复数 $z=a+bi$，它的模定义为：

$$\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}$$

例如，$3+4i$ 的模为 5。

后面我们会看到，模定义在复数的极坐标表示中的作用。

复数的加减

对于两个复数：$z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，其加减法为

$$z_1\pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)i$$

即实部和虚部分别相加减。

复数的标量乘法

标量乘法同样符合我们的直觉。对于标量 $\lambda$ 和复数 $a+bi$，有

$$\lambda(a+bi)=\lambda a+\lambda bi$$

例如：

$$2(3+5i)=6+10i$$

两个复数的乘积

两个复数的乘积就是各项分别相乘并相加。对于两个复数 $z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，有

\begin{align*}
z_1z_2 &= (a+bi)(c+di)\\
&= ac+adi+bci+bdi^2\\
&= (ac-bd)+(ad+bc)i
\end{align*}

例如，对于 $z_1=3+4i$ 和 $z_2=5-2i$，有

\begin{align*}
z_1z_2 &= (3+4i)(5-2i)\\
&= 15-6i+20i-8i^2\\
&= 23+14i
\end{align*}

可以看到。两个复数的加减和乘积都是一个复数。

共轭复数

两个复数相乘还有个特殊情况：

\begin{align*}
(a+bi)(a-bi)&=a^2-b^2i \\
&= a^2+b^2
\end{align*}

其中 $a-bi$ 称作是 $a+bi$ 的共轭复数（conjugate complex number），又称复共轭、复数共轭。

更一般的定义，$z=a+bi$ 的共轭复数用 $\bar{z}$ 或 $z^*$ 表示，其中：

$$z^*=a-bi$$

而

$$zz^*=a^2+b^2=\left |z  \right |^2$$

两个复数的除法

利用共轭复数的性质，我们再来看复数的除法。

对于 $z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，其中 $z_2\neq 0$。

那么，

\begin{align*}
\frac{z_1}{z_2}&=\frac{z_1z_2^*}{z_2z_2^*} \\
&= \frac{z_1z_2^*}{\left | z_2 \right |^2} \\
&= \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} \\
&= \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}
\end{align*}

例子：

\begin{align*}
\frac{4+3i}{3+4i}&=\frac{(4*3+3*4)+(3*3-4*4)i}{3^2+4^2} \\
&= \frac{24}{25}-\frac{7}{25}i
\end{align*}

复数的逆

已知一个复数 $z\neq 0$，定义它的逆 $z^{-1}=\frac{1}{z}$。利用共轭复数的性质，我们可以推导：

$$\frac{z^{-1}}{z^*}=\frac{1}{zz^*} = \frac{1}{\left | z \right |^2}$$

$$\Rightarrow z^{-1}=\frac{z^*}{\left | z \right |^2}$$

例子：

\begin{align*}
\frac{1}{3+4i} &=(3+4i)^{-1} \\
&= \frac{3-4i}{25} \\
&= \frac{3}{25}-\frac{4}{25}i
\end{align*}

检查：$(3+4i)(\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i)=\frac{9}{25}-\frac{12}{25}i+\frac{12}{25}i+\frac{16}{25}=1$

复数与旋转

复平面

极坐标表示

旋转子