Luogu P1983 车站分级 题解 [ 绿 ] [ 拓扑排序 ] [ 图论建模 ] [ 虚点 ]

车站分级：很好的拓扑排序题，细节有点多。

图论建模

首先观察对于一条线路，我们可以从中直接得到什么信息：

假设这条线路的开头为 \(st\)，结尾为 \(ed\)，那么在 \([st,ed]\) 的车站中，没有被选入线路的点一定比选入线路的点的级数至少少 \(1\)。

对于这一点条件，我们就可以建模了。

和差分约束一样，我们从某个点起连到所有比其多 \(1\) 的点的有向边，边权赋为 \(1\)。

然后拓扑排序跑最长路即可。不是最短路的原因是这些都是充分必要条件，每一个都必须满足，因此要选最长路。

这样建图是 \(O(n^2m)\) 的，虽然常数小，但还是容易被卡。

优化

发现复杂度瓶颈在于是一堆点往一堆点连边，所以我们从优化建边的方式入手：虚点优化。

我们把那些原来的起点们连多条向这个虚点的有向边，边权赋为 \(0\)；然后从这个虚点连多条向原来的终点们的有向边，边权赋为 \(1\)，这样就可以在 \(O(n)\) 的时间里完成 \(O(n^2)\) 的建边了。

总体复杂度是 \(O(nm)\)。

细节

边权全部赋值为 \(1\) 的做法

对于这种做法，非常万能，但我想不到。

写这种做法细节很少，我们无需处理起点是 \(0\) 是 \(1\)，直接全赋为 \(0\) 就好了，因为我们先不考虑起点。

最后统计答案的时候，我们只需要将 $ ans \div 2 +1$ 即可，\(\div2\) 是因为经过虚点一次会走两条边，要除回来；\(+1\) 是因为要加上起点。

同时注意有可能虚点入度为 \(0\)，所以虚点也要加入拓扑排序的初始化中，比如下面的数据：

in:
3 1
2 1 2

out:
1

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,a[1005],dp[3005],rd[3005],ans=0;
vector<int>g[3005];
queue<int>q;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int s,st=0,ed=0;
		cin>>s;
		bitset<1005>isin;
		for(int j=1;j<=s;j++)
		{
			cin>>a[j];
			isin[a[j]]=1;
			if(j==1)st=a[j];
			if(j==s)ed=a[j];
		}
		int vt=n+i;
		for(int j=st;j<=ed;j++)
		{
			if(isin[j]==0)
			{
				g[j].push_back(vt);
				rd[vt]++;
			}
			else
			{
				g[vt].push_back(j);
				rd[j]++;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n+m;i++)
	{
		if(rd[i]==0)
		{
			q.push(i);
			dp[i]=0;
		}
	}
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(auto v:g[u])
		{
			dp[v]=max(dp[v],dp[u]+1);
			rd[v]--;
			if(rd[v]==0)
			{
				q.push(v);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n+m;i++)
	{
		ans=max(ans,dp[i]/2+1);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

对于边权先赋为 \(1\)，后面再赋为 \(0\) 的做法

依然是上面的那个 hack 数据：

in:
3 1
2 1 2

out:
1

如果把入度为 \(0\) 的虚点的最长路也初始化为 \(1\) 的话，就会导致这组数据结果多一个 \(1\)。因此应该把虚点初始化为 \(0\)，其他点初始化为 \(1\)。

另外，不要读错题了，只有起点和终点之间的车站才受分级的约束，而不是全部车站。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,a[1005],dp[3005],rd[3005],ans=0;
struct edge{
	int to,w;
};
vector<edge>g[3005];
queue<int>q;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int s,st=0,ed=0;
		cin>>s;
		bitset<1005>isin;
		for(int j=1;j<=s;j++)
		{
			cin>>a[j];
			isin[a[j]]=1;
			if(j==1)st=a[j];
			if(j==s)ed=a[j];
		}
		int vt=n+i;
		for(int j=st;j<=ed;j++)
		{
			if(isin[j]==0)
			{
				g[j].push_back({vt,0});
				rd[vt]++;
			}
			else
			{
				g[vt].push_back({j,1});
				rd[j]++;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(rd[i]==0)
		{
			q.push(i);
			dp[i]=1;
		}
	}
	for(int i=n+1;i<=n+m;i++)
	{
		if(rd[i]==0)
		{
			q.push(i);
			dp[i]=0;
		}
	}
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(auto tmp:g[u])
		{
			int v=tmp.to,w=tmp.w;
			dp[v]=max(dp[v],dp[u]+w);
			rd[v]--;
			if(rd[v]==0)
			{
				q.push(v);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n+m;i++)
	{
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}