已知n个数的入栈序列，求一共有多少种出栈序列 (卡特兰数)

已知\(n\)个数的入栈序列，求一共有多少种出栈序列

这个经典问题有两种解法。

解法一：

设\(f(x)\)为\(x\)个数入栈后，再全部出栈的序列数量

假设我们有\(4\)个数\(a,b,c,d\), 我们来看\(a\)的出栈顺序.

假如\(a\)第一个出栈，那么后面还有\(3\)个数没有出栈，因此方法数是\(f(3)\).

假设\(a\)第二个出栈，那么\(a\)的前面有\(1\)个数已经出栈，后面还有\(2\)个数没有出栈，因此方法数为\(f(1) * f(2)\).

假设\(a\)第三个出栈，那么\(a\)的前面有\(2\)个数已经出栈，后面还有\(1\)个数没有出栈，因此方法数为\(f(2) * f(1)\).

同理，\(a\)第四个出栈的方法数为\(f(3)\).

那么我们就可以得到\(f(4) = f(3) + f(1) *f(2) + f(2)*f(1) +f(3)\).

对于\(n\)来推广一下，可以得到：\(f(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i - 1)*f(n-i)\).

不难发现这就是卡特兰数，这里就不在赘述了。

解法二：

我们假设\(-1\)表示出栈，\(1\)表示入栈，这样我们就可以用\(-1\)和\(1\)组成的序列来表示出入栈操作。

首先来限定一些条件，一个合法的序列\(0\)和\(1\)的数量一定是相等的。并且序列的前缀和一定是不小于\(0\)的。

了解了上面两个条件后，我们知道所有的序列数为\(C^{\ n}_{2n}\),因为\(-1\)和\(1\)的数量相同。在这\(C^{\ n}_{2n}\)个序列中，存在不合法的序列，即前缀和小于\(0\)的序列，我们想要知道这些不合法的序列有多少。

假设我们有一个序列\(1,-1,-1,1,-1,1\)，这里在第三个下标，我们发现了它的前缀和小于\(0\)，因此它不合法。再来推广一下，在这所有\(C^{\ n}_{2n}\)个序列中，不合法的序列它的前缀和一定在某一处小于\(0\).

接下来，我们将序列开头到不合法下标的这一段进行取反。首先拿上面的例子来进行说明，取反后得到：\(-1,1,1,1,-1,1\)，不难发现，现在得到的序列\(+1\)比\(-1\)多出一个.

现在再来进行推广，我们截取的不合法序列段(从开头到不合法前缀和下标)，这一段中的\(-1\)一定比\(+1\)多一个，那么将这一段取反后所得到的总序列中的\(+1\)一定比\(-1\)多一个。

不难发现，不合法的序列一定对应唯一一个取反后的序列，并且取反后的序列中\(+1\)有\(n+1\)个，\(-1\)有\(n-1\)个，那么根据这个条件，我们就可以得到所有不合法的序列数量为\(C_{2n}^{n+1}\)或者\(C^{n-1}_{2n}\)(因为他两相等)。

最后，合法的序列数为：\(C^{\ n}_{2n}-C_{2n}^{n+1\ or\ n-1}\).

这个解法的关键在于，不合法的序列一定唯一对应一个取反后的序列，那么我们可以算出所有取反后的数列有多少种(根据\(+1\)有\(n+1\)个，\(-1\)有\(n-1\)个的性质)，来对应出不合法的序列数，从而得到答案.

因为感觉这种解法非常的巧妙，因此想写篇博客来总结一下.