【Note】矩阵加速

感谢 \(\text{tidongCrazy}\) 倾情授课。

目录

• 基本形式
• 基础习题
  • P1962 斐波那契数列（例题）
  • P4838 P哥破解密码（矩阵加速）
• 稍微up
  • P1397 [NOI2013] 矩阵游戏（矩阵加速）
  • P3216 [HNOI2011]数学作业（矩阵加速）
• 图论\(\times\)矩阵
  • P2233 [HNOI2002]公交车路线（图论与矩阵结合）
  • P2151 [SDOI2009] HH去散步（有限制的路径计数）
  • P4159 [SCOI2009] 迷路（图论中邻接矩阵的巧妙转化）
• 分组矩阵
  • P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼（分组矩阵优化）
  • P3821 Isaac（分组矩阵优化）
• 矩阵乘法变形
  • P5678 [GZOI2017]河神（矩阵乘法变形）
  • CF576D Flights for Regular Customers（矩阵乘法优化）
  • P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值（矩阵乘法变形+优化）
    • 关于矩阵乘法结合律的证明（sun123zxy）
    • 光速幂
• 杂记
  • D - Binary Representations and Queries
  • P7453 [THUSCH2017] 大魔法师
• 矩阵运算律
  • 矩阵线性运算
    • (1) 矩阵加法
    • (2) 矩阵数乘
  • 矩阵乘法

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基本形式

\[f_i=k_1f_{i-a_1}+k_2f_{i-a_2}+\cdots+g(i)
\]

把递推需要用到的项全部存进矩阵里面，固定的系数则放在转移矩阵里面。最后的那个\(g\)，其实可以认为是另外一个（或者多个）递推数列，它涉及了\(f\)的转移，于是一起放在矩阵里面，并且它也实时转移更新着。

比如转移项里面可以有\(3^n\)，\(n\)。\(3^n\)到\(3^{n+1}\)的转移只需要带个系数\(3\)，而\(n\)到\(n+1\)的转移，我们需要多带一列\(1\)。

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基础习题

最简单的一维多阶递推。

P1962 斐波那契数列（例题）

P4838 P哥破解密码（矩阵加速）

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稍微up

P1397 [NOI2013] 矩阵游戏（矩阵加速）

处理每一行递推到最后的矩阵，加一个从这一行末尾递推到下一行第一个位置的矩阵，对这个组合快速幂。

P3216 [HNOI2011]数学作业（矩阵加速）

\[f_i=f_{i-1} \times 10^{T(i)}+i
\]

发现这个\(T(i)\)不好处理，看看\(n\)才\(10^{18}\)，直接跑\(18\)个不同的矩阵。

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图论\(\times\)矩阵

大致做法是这样的。在一个图里面跑，题目涉及的路径长度非常大的时候适用。

由\(t-1\)阶的答案扩展到\(t\)阶的答案，需要多扩展一条边。设\(f^t_{i,j}\)表示\(i->j\)，走\(t\)步的方案数。则

\[f^{t}_{i,j}=f^{t-1}_{i,k}\times f^1_{k,j}
\]

跟矩乘的形式相符，可以以\(1\)阶矩阵为转移矩阵爆加速。

另一个理解则是，这个\(1\)阶的\(01\)矩阵是该图的邻接矩阵，当\(k->j\)有连边时，就能为\(f^{t}_{i,j}\)贡献\(f^{t-1}_{i,k}\)的方案数。

P2233 [HNOI2002]公交车路线（图论与矩阵结合）

P2151 [SDOI2009] HH去散步（有限制的路径计数）

这个限制的做法是，把一条边拆成两个点（表示双向的边）。做完了（

P4159 [SCOI2009] 迷路（图论中邻接矩阵的巧妙转化）

这个边权最多只有\(9\)，那我们存储相邻\(9\)阶的信息到一个矩阵里。

...........等一下，这样能做么...

题解给的方法是把一条边暴拆成双向各九个，没了（

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分组矩阵

矩阵变化的周期很小，把周期内的每个矩阵处理出来，合在一起快速幂就行了。

P2579 [ZJOI2005]沼泽鳄鱼（分组矩阵优化）

P3821 Isaac（分组矩阵优化）

相比上一题加个二分就好啦。

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矩阵乘法变形

P5678 [GZOI2017]河神（矩阵乘法变形）

这俩运算符性质很好，看看下面矩阵乘法结合律的证明吧。

注意与运算的单位是\(111111111\)（

CF576D Flights for Regular Customers（矩阵乘法优化）

按\(d_i\)排序，每次跑到下一个\(d_i\)就加边改矩阵。

由于只需要可行性，可以改成\(01\)，位运算，然后bitset压一下。

怎么还有题需要bitset卡个64的

P6569 [NOI Online #3 提高组] 魔法值（矩阵乘法变形+优化）

关于矩阵乘法结合律的证明（sun123zxy）

与和或运算显然是满足的。

然后就是这题奇怪的优化，像我这种从来把\(log\)当作不存在的人就已经寄了。

光速幂

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杂记

还可以做类似一个结构体内，一些变量相互加减之类变化的运算。

D - Binary Representations and Queries

第一步结论我甚至暂时不会证。

后一步则是让两个元素一一对应的集合（其实就是一对一对的），每次让一边元素加上另一边与之对应元素的值。

这个只是矩阵乘法，而不是矩阵加速（

P7453 [THUSCH2017] 大魔法师

又想提一嘴矩阵的运算律，我一直没搞得比较清楚。

矩阵运算律

矩阵线性运算

(1) 矩阵加法

交换律：\(A+B=B+A\)

结合律：\((A+B)+C=A+(B+C)\)

(2) 矩阵数乘

结合律：\(\lambda\mu A=\lambda(\mu A)\)

分配率 \(1\)：\(\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\)

分配率 \(2\)：\((\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\)

矩阵乘法

结合律 \(1\)：\((AB)C=A(BC)\)

结合律 \(2\)：\(\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\)

分配率：\(A(B+C)=AB+AC\)，\((B+C)A=BA+CA\)

这题是在线段树上做区间乘矩阵，区间覆盖，区间加，区间乘。后三个运算分别对矩阵不同对象。

满足了上述一系列优秀的性质，来考虑怎么打 \(tag\)。

回归最一般的线段树区间乘与区间加。

比如标记 该节点需要先 \(\times a\) 再 \(+b\)，子节点已有的标记是需要先 \(\times c\) 再 \(+d\)，那么子节点：

\[\begin{aligned}
E&=(E\times c+d)\times a+b\\
&=E\times(c\times a)+d\times a+b
\end{aligned}
\]

那么子节点的 \(c\) 就该变成 \(c\times a\)， \(d\) 变成 \(d\times a+b\)。

类比标记打法：该节点需要 \(\times P\) 后分别 $\times v\ ,+k\ ,\ $覆盖

一种方法是拆成乘与加矩阵（\(3\times 3\) 矩阵），另一种是全部拆成乘矩阵。后者（\(4\times 4\) 矩阵，加了一列常数项）应该是好写很多的，但不知道会不会复杂度爆炸（

哦我草，\(5s\) 啊，那没事了，我傻逼了，比上面那个还好写（？）