Memory and Scores

Memory and Scores

题目链接：http://codeforces.com/contest/712/problem/D

dp

因为每轮Memory和Lexa能取的都在[-k,k]，也就是说每轮两人分数的变化量在[-2k,2k]；

故可以定义状态：dp[times][diff]为第times次Memory和Lexa的分数差为diff的方案数.

而dp[times][diff]可以从dp[times-1][diff-2k]到dp[times-1][diff+2k]转移而来；

又因为变化量为-2k时的方案数为1（-k，k），

变化量为-2k+1时的方案数为2（-k，k-1；-k+1，k），

变化量为-2k+2时的方案数为3（-k，k-2；-k+1，k-1；-k+2，k），

...，

变化量为-2k+m时的方案数为m+1，

...，

变化量为0时的方案数为2k+1，

...，

变化量为2k-m时的方案数为m+1，

...，

变化量为2k-1时的方案数为2，

变化量为2k时的方案数为1.

所以状态转移方程为：dp[times][diff]=dp[times-1][diff-2k]+2*dp[times-1][diff-2k+1]+3*dp[times-1][diff-2k+2]+...+(m+1)*dp[times-1][diff-2k+m]+...+2*dp[times-1][diff+2k-1]+dp[times-1][diff+2k];

这样的话，时间复杂度为O（k²t²），代码如下：

 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #define M 1000000007LL
 #define TIME 105
 #define DIFF 300000
 #define BASE 150000
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 LL a,b,k,t,ans;
 LL dp[TIME][DIFF];
 int main(void){
     cin>>a>>b>>k>>t;
     dp[][a-b+BASE]=;
     LL upper=a-b+BASE+*k*t;
     LL lower=a-b+BASE-*k*t;
     for(LL times=;times<=t;++times){
         for(LL diff=lower;diff<=upper;diff++){
             for(LL m=;m<=*k;m++){
                 LL add=-*k+m;
                 if(diff+add>=lower){
                     if(add)dp[times][diff]+=(dp[times-][diff+add]+dp[times-][diff-add])*(m+);
                     else dp[times][diff]+=dp[times-][diff]*(m+);
                     dp[times][diff]%=M;
                 }
             }
         }
     }
     for(int i=BASE+;i<=upper;++i)
         ans=(ans+dp[t][i])%M;
     cout<<ans<<endl;
 }

很显然，这会T，所以必须做出优化。

注意到：

dp[times][diff]是在dp[times][diff-1]的基础上前半段各个项减一，后半段各个项加一得到的，所以可以维护一个前缀和数组pre[i]，那么

dp[times][diff]=dp[times][diff-1]+(pre[diff+2k]-pre[diff-1])-(pre[diff-1]-pre[(diff-1)-2k-1])

可以在O（1）的时间内完成，优化后的代码时间复杂度为O（kt²），代码如下：

 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #define M 1000000007LL
 #define TIME 105
 #define DIFF 500000
 #define BASE 250000
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 LL a,b,k,t,ans;
 LL dp[TIME][DIFF];
 LL pre[DIFF];
 int main(void){
     cin>>a>>b>>k>>t;
     dp[][a-b+BASE]=;
     LL upper=a-b+BASE+*k*t;
     LL lower=a-b+BASE-*k*t;
     for(LL times=;times<=t;++times){
         for(LL diff=lower;diff<=upper;diff++)
             pre[diff]=pre[diff-]+dp[times-][diff],pre[diff]%=M;
         for(LL m=;m<=*k;m++){
             LL add=-*k+m;
             if(add)dp[times][lower]
                 +=(dp[times-][lower+add]+dp[times-][lower-add])*(m+);
             else dp[times][lower]+=dp[times-][lower]*(m+);
             dp[times][lower]%=M;
         }
         for(LL diff=lower+;diff<=upper;diff++){
             dp[times][diff]=dp[times][diff-]
                 +(pre[min(upper,diff+*k)]-pre[diff-])
                 -(pre[diff-]-pre[max(lower,diff--*k)-]);
             dp[times][diff]=(dp[times][diff]+M)%M;
             //记得+M，减法模运算可能会出现负数
         }
     }
     for(int i=BASE+;i<=upper;++i)
         ans=(ans+dp[t][i])%M;
     cout<<ans<<endl;
 }

这样的代码仍然可以优化：

1.可以用滚动数组来优化空间复杂度，从O（kt²）降低到O（kt），太懒没写╮(╯▽╰)╭；

2.可以用快速傅里叶变换FFT优化时间复杂度，从O（kt²）继续降到O（kt lg(kt)），没学还不会写╮(╯▽╰)╭

//昨天去面试微软俱乐部被嘲讽=。= 定个目标吧，这学期div2稳定4题怎么样？