排序算法(3)--Insert Sorting--插入排序[3]--Shell Sort--希尔排序

1.基本思想

　　希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。

2.实现原理

　　对于n个待排序的数列，取一个小于n的整数gap(gap被称为步长)将待排序元素分成若干个组子序列，所有距离为gap的倍数的记录放在同一个组中；然后，对各组内的元素进行直接插入排序。 这一趟排序完成之后，每一个组的元素都是有序的。然后减小gap的值，并重复执行上述的分组和排序。重复这样的操作，当gap=1时，整个数列就是有序的。

3.代码实例

(1)代码:

   /**
     * 对希尔排序中的单个组进行排序
     * <p>
     * 参数说明：
     * a -- 待排序的数组
     * n -- 数组总的长度
     * i -- 组的起始位置
     * gap -- 组的步长
     * <p>
     * 组是"从i开始，将相隔gap长度的数都取出"所组成的！
     */
    public static void groupSort(int[] a, int n, int i, int gap) {
        //打印分组
        System.out.print("gap="+gap+" [");
        //打印第一个比较的元素
        System.out.print(a[i]);
        //直接插入排序
        for (int j = i + gap; j < n; j += gap) {
            //被比较的元素
            System.out.print(" "+a[j]);
            // 如果a[j] < a[j-gap]，则寻找a[j]位置，并将后面数据的位置都后移。
            if (a[j] < a[j - gap]) {
                int tmp = a[j];
                int k = j - gap;
                while (k >= 0 && a[k] > tmp) {
                    a[k + gap] = a[k];
                    k -= gap;
                }
                a[k + gap] = tmp;
//                System.out.print(" ("+a[j]+"<-->"+a[j-gap]+")");
            }
        }
        System.out.println("]");
    }
    /**
     * 希尔排序
     * <p>
     * 参数说明：
     * a -- 待排序的数组
     * n -- 数组的长度
     */
    public static void shellSort(int[] a, int n) {
        // gap为步长，每次减为原来的一半。
        for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
            // 共gap个组，对每一组都执行直接插入排序
            for (int i = 0; i < gap; i++)
                groupSort(a, n, i, gap);
            System.out.printf("after sort:");
            for (int i = 0; i < a.length; i++)
                System.out.printf("%d ", a[i]);
            System.out.println();
            System.out.println();
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int i;
        int a[] = {80, 30, 60, 40, 20, 10, 50, 70,100};
        System.out.printf("before sort:");
        for (i = 0; i < a.length; i++)
            System.out.printf("%d ", a[i]);
        System.out.println();
        System.out.println();
        shellSort(a, a.length);
    }

(2)结果:

before sort:80 30 60 40 20 10 50 70 100

gap=4 [80 20 100]

gap=4 [30 10]

gap=4 [60 50]

gap=4 [40 70]

after sort:20 10 50 40 80 30 60 70 100

gap=2 [20 50 80 60 100]

gap=2 [10 40 30 70]

after sort:20 10 50 30 60 40 80 70 100

gap=1 [20 10 50 30 60 40 80 70 100]

after sort:10 20 30 40 50 60 70 80 100

4.算法分析

(1)希尔排序时间复杂度

　　希尔排序的时间复杂度与增量(即，步长gap)的选取有关。例如，当增量为1时，希尔排序退化成了直接插入排序，此时的时间复杂度为O(N²)，而Hibbard增量的希尔排序的时间复杂度为O(N3/2)。

(2)希尔排序空间复杂度

　　空间复杂度是O(1) 因为只有一个缓冲单元。

(3)希尔排序稳定性

　　希尔排序是不稳定的算法，它满足稳定算法的定义。对于相同的两个数，可能由于分在不同的组中而导致它们的顺序发生变化。

　　算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！

5.排序特点

我们知道一次插入排序是稳定的，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以希尔排序是不稳定的。

　　希尔排序的时间性能优于直接插入排序，原因如下：

　　（1）当文件初态基本有序时直接插入排序所需的比较和移动次数均较少。

　　（2）当n值较小时，n和n2的差别也较小，即直接插入排序的最好时间复杂度O(n)和最坏时间复杂度0(n2)差别不大。

　　（3）在希尔排序开始时增量较大，分组较多，每组的记录数目少，故各组内直接插入较快，后来增量di逐渐缩小，分组数逐渐减少，而各组的记录数目逐渐增多，但由于已经按di-1作为距离排过序，使文件较接近于有序状态，所以新的一趟排序过程也较快。

　　因此，希尔排序在效率上较直接插人排序有较大的改进。

　希尔排序的平均时间复杂度为O(nlogn)。