洛谷 题解 UVA10048 【噪音恐惧症 Audiophobia】

【题意】

输入一个\(C\)个点\(S\)条边 \((C<=100)\) \((S<=1000)\)的无向带权图，边权表示该路径上的噪声值。当噪声太大时，耳膜可能会收到损伤，所以当你从某点去往另一个点时，总是希望路上经过的噪声最大值最小。输入一些询问，每次询问两个点，求出这两点间最大噪声值最小的路径。输出其最大噪声值

【算法】

\(Floyd\)

【分析】

本题的做法十分简单：直接用\(Floyd\)算法，但是要把\(+\)改成\(min\)，\(min\)改成\(max\)。

为什么可以这样做呢？ 大部分题解都没给出证明，这里给出证明过程

• 证明过程

不管是\(Floyd\)还是\(Dijkstra\)算法，都是基于这样一个事实：对于任意一条至少包含两条边的路径i->j,一定存在某一个中间点k使得i->j的总长度等于i->k与k->j的长度之和。对于不同的点k，i->k和k->j的长度之和可能不同，最后还需要取一个最小值才是i->j的最短路径。把刚才推理中“之和”与“取最小值”换成“取最小值”和“取最大值”，推理仍然适用

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,Q;
int g[110][110];
int T;
inline int read()
{
    int tot=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
        c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        tot=tot*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return tot;
}
int main()
{
    n=read();m=read();Q=read();
    while(1)
    {
        T++;
        memset(g,0x3f,sizeof(g));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int x=read(),y=read(),z=read();
            g[x][y]=z;
            g[y][x]=z;
        }
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                for(int j=1;j<=n;j++)
                {
                    g[i][j]=min(g[i][j],max(g[i][k],g[k][j]));
                }
            }
        }
        cout<<"Case #"<<T<<endl;
        while(Q--)
        {
            int x=read(),y=read();
            if(g[x][y]==0x3f3f3f3f)cout<<"no path\n";
            else cout<<g[x][y]<<endl;
        }
        n=read();m=read();Q=read();
        if(n||m||Q)cout<<endl;
        else break;
    }
    return 0;
}