学习笔记-Rabin-Karp哈希

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在数学一本通上看过这两人名字，现在又出现了...

• 思想：

  用一个整数表示一个字符串

  \(w_{str}\)=(\(a_0\) \(p^{n-1}\)+\(a_1\) \(p^{n-2}\)+...+\(a_{n-1}\) \(p^0\)) (\(MOD\) \(q\))

• 注意：

  字符转换成\(a_n\)时最好不要转为0，例如遇到"a","aa","aaa"的情况

• 优越之处：

  我们可以在O(1)内取出任意子串的Hash值

  怎么实现？

  • 记录下所有前缀的Hash值

  我们知道

  \(w_{pre_{i-1}}\) \(=(\) \(a_0\) \(p^{i-1}\)+\(a_1\) \(p^{i-2}\)+...+\(a_{i-1}\) \(p^0\)) (\(MOD\) \(q\))

  \(w_{pre_{j}}\) \(=(\) \(a_0\) \(p^{j}\)+\(a_1\) \(p^{j-1}\)+...+\(a_{j}\) \(p^0\)) (\(MOD\) \(q\))

  所以

  • \(w_{str_{i,j}}\)

  \(=(\) \(a_i\) \(p^{j-i}\)+\(a_{i+1}\) \(p^{j-i-1}\)+...+\(a_{j}\) \(p^0\))

  \(=\) \(w_{pre_{j}}\) \(-\) \(w_{pre_{i-1}}\) \(p^{j-i+1}\) (\(MOD\) \(q\))

  然而....

  在做TJOI2017 DNA时我发现取模太慢了,不如用unsigned long long自然溢出，这样一下就快了很多。

  同时还有一个优化技巧,预处理出p值的幂,这样也能快不少。

• 应用：

  • 字符串匹配

    • 思路：

      和KMP一样是\(O(N+M)\)的时间复杂度，只需要遍历文本串比较哈希值就可以了。

    • 题目：

    这个比较多应该都找得到

  • 求最长公共前缀（Longest Common Prefix）：

    给定两个字符串a,b，有m个询问，每次分别给出两个起始位置x,y，求a串从x开始，b串从y开始的最长公共前缀(LCP)长度；

    • 思路

      二分+RK Hash

      如上文预处理出每个前缀的Hash值，我们就能O(1)内求出子串Hash值，然后不断二分长度L就好了

      根据fstqwq的说法，时间复杂度 \(O(m\log L)\)

      然而，自己摸索出了一个骚操作(好象又在哪里听过这种做法？),用倍增,因为二分的上下届可能比较大，不如倍增来的快.

    • 题目：

    --update--

    TJOI2017DNA
    https://www.luogu.org/problemnew/show/P3763

    我的题解：https://www.luogu.org/blog/Rye-Catcher/solution-p3763

    luogu上搜中文和算法都没有，搜英文有一道CF的题不过要用树链剖分，可惜我现在的知识点不够;

    另外我惊人地发现一道JSOI2008火星人的题目和SP3109 STRLCP - Longest Common Prefix几乎一模一样