牛客小白月赛12 C 华华给月月出题 （积性函数，线性筛）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/392/C

来源：牛客网

华华给月月出题

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒

空间限制：C/C++ 131072K，其他语言262144K

64bit IO Format: %lld

题目描述

华华刚刚帮月月完成了作业。为了展示自己的学习水平之高超，华华还给月月出了一道类似的题：

Ans=\oplus_{i=1}^N(iN\mod(10^9+7))Ans=⊕

i=1

N

​

(i

N

mod(10

9

+7))

\oplus⊕符号表示异或和，详见样例解释。

虽然月月写了个程序暴力的算出了答案，但是为了确保自己的答案没有错，希望你写个程序帮她验证一下。

输入描述:

输入一个正整数N。

输出描述:

输出答案Ans。

示例1

输入

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3

输出

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18

说明

N=3时，1^3=11

3

=1，2^3=82

3

=8，3^3=273

3

=27，异或和为18。

示例2

输入

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2005117

输出

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863466972

备注:

1\le N\le 1.3\times10^71≤N≤1.3×10

7

思路：

令 f(x)= x^N

则 f(a * b)=(a+b)^N=aN * b^N=f(a) * f(b)

所以f（x）是一个完全积性函数，

所以可以用线筛来做，

对于素数，直接快速幂。因为素数的个数是O（n/log(n)）级别的，快速幂的复杂度是O(log N) 的，所以总时间复杂度是O(N)。

细节见代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iomanip>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define gg(x) getInt(&x)
#define chu(x) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) {ll ans = 1; while (b) {if (b % 2)ans = ans * a % MOD; a = a * a % MOD; b /= 2;} return ans;}
inline void getInt(int* p);
const int maxn = 13000010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/

ll f[maxn];
ll n;
std::vector<ll> prime;
const ll mod = 1e9 + 7;
void init()
{
    memset(f, -1, sizeof(f));
    f[1] = 1ll;
    for (int i = 2; i < maxn; ++i)
    {
        if (f[i] == -1)
        {
            f[i] = powmod(1ll * i, n, mod);
            prime.push_back(i);
        }
        for (int j = 0; j < sz(prime) && prime[j]*i < maxn; ++j)
        {
            f[prime[j]*i] = f[i] * f[prime[j]] % mod;
            if (i % prime[j] == 0)
            {
                break;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\in.txt","r",stdin);
    //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\out.txt","w",stdout);
    cin >> n;
    init();
    ll ans = 0ll;
    repd(i, 1, n)
    {
        ans ^= f[i];
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

inline void getInt(int* p) {
    char ch;
    do {
        ch = getchar();
    } while (ch == ' ' || ch == '\n');
    if (ch == '-') {
        *p = -(getchar() - '0');
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 - ch + '0';
        }
    }
    else {
        *p = ch - '0';
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 + ch - '0';
        }
    }
}