P3239 [HNOI2015]亚瑟王——概率DP
题面:亚瑟王
最近考试考期望很自闭啊,没做过这种类型的题,只能现在练一练;
所谓期望,就是状态乘上自己的概率;对于这道题来说,我们要求的是每张牌的伤害乘上打出的概率的和;
当然不是直接乘,因为给的是每轮中这张牌打出的概率,这张牌没打出就要考虑下一张牌,要有一张牌发出技能才能结束一轮;除非一张牌都发不出来;
设每张牌打出的概率是exp[],答案就是exp[i]*d[i];
exp[i]怎么求?
我们要始终在概率面前一视同仁;
因为牌只有出和不出两种状态,概率和为1;
exp[1]=1-(1-p[1])r 即为1-r轮不出的概率=r轮出的概率;
再考虑第二张:
情况一:如果第1张牌没有发动过技能,那么第22张牌发动技能的概率为1-(1−p[2])r。
情况二:如果第1张牌发动过1次技能,那么在第1张牌发动技能的那一轮,第2张牌绝对不会再发动技能了,因此第2张牌发动技能的概率为1-(1−p[2])r−1。
结合这个例子,可以得到,对于任意的i>1,在第1张牌到第i-1张牌在所有r轮内是否发动技能已经确定的情况下,
第i张牌被发动技能的概率只取决于第1张牌到第i-1张牌中有多少张发动了技能。即如果有j张发动了技能,那么在此情况下第i张牌发动技能的概率为1-(1−p[i])r−j。
(摘自洛古题解https://www.luogu.org/space/show?uid=29936)
设f[i][j]为前i张牌打出j张牌的概率,分别由f[i-1][j-1]和f[i-1][j]转移过来,这张牌打出去和这张牌没打出去;
这张牌打出去了,那么j-1轮中他扔不出去,r-j+1轮中他扔了出去,即为f[i-1][j-1]*(1-(1-p[i])r-j+1);
(1-p[i])r-j+1 是剩下的都没打出的概率,用1减去即是j轮打出的概率;
j轮打不出的概率就是f[i-1][j]*(1-(1-p[i])r-j )
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
typedef double dd;
int T;
int n,r;
dd p[maxn];
int d[maxn]; dd ksm_p[maxn][maxn];
void pre_p()
{
for(int i=;i<=n;i++)
{
ksm_p[i][]=;
for(int j=;j<=r;j++)
{
ksm_p[i][j]=ksm_p[i][j-]*(-p[i]);
}
}
}
dd ans;
dd f[maxn][maxn];//i card j used
dd exp[maxn]; int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
ans=;
memset(f,,sizeof(f));
memset(exp,,sizeof(exp));
scanf("%d%d",&n,&r);
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);
}
pre_p();
f[][]=ksm_p[][r];
f[][]=exp[]=1.0-ksm_p[][r];
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=r;j++)
{
if(j>i) break;
if(j!=i) exp[i]+=f[i-][j]*(-ksm_p[i][r-j]);
if(j) f[i][j]+=f[i-][j-]*(-ksm_p[i][r-j+]);
if(i!=j) f[i][j]+=f[i-][j]*ksm_p[i][r-j];
}
}
for(int i=;i<=n;i++) ans+=exp[i]*d[i];
printf("%.10lf\n",ans);
}
return ;
}
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