初识Treap

Treap，简单的来说就是Tree+Heap，是一颗平衡树，每个节点有两个信息：1.key：当前节点的关键字 ；2.fix：当前节点优先级。key满足二叉排序数的性质，即左儿子都比当前节点小，右儿子都比当前节点大（或相等），fix是一个随机的数，满足小根堆（或大根堆）的性质，fix是为了防止Treap退化成链表的简单优化策略。

如下面的一颗Treap：

Treap可以进行下面几种操作：插入，查询第k大，旋转，还有其他一些基本操作和一些高级的操作，这里暂不作介绍。

1.插入元素

Treap的关联形式是链表，所以要定义一个结构体，其中包含一个指向Treap类型的指针，树的大小，左右儿子的指针。

struct Treap
{
	int size,key,fix;
	Treap *ch[2];
	Treap(int k)//构造函数
	{
		size=1;
		fix=rand();
		key=k;
		ch[0]=ch[1]=NULL;
	}
	int compare(int x)const
	{
		return key==x?-1:x<key?0:1;
	}
	void Maintain()   //计算Treap的大小
	{
		size=1;
		if(ch[0]!=NULL)size+=ch[0]->size;
		if(ch[1]!=NULL)size+=ch[1]->size;
	}
};

插入的时候，如果当前元素是空的，就用new运算符构造一颗新树（没有儿子节点），如果不是空的，就递归向下直到是 叶子节点。节点之间的联系是以链表的形式建立起来的。

如果新插入的元素的优先级不满足小根堆的性质，则要进行旋转操作，使优先级满足要求。

void insert(Treap *&t,int x)
{
	if(t==NULL)t=new Treap(x);
	else
	{
		int d=x < t->key?0:1;
		insert(t->ch[d],x);
		if(t->fix > t->ch[d]->fix) //破坏了优先级顺序
			Rotate(t,d);
	}
	t->Maintain();
}

2.旋转

当优先级破坏了小根堆的性质的时候，就要进行旋转操作，使重新满足小根堆。

旋转的时候有两种情况

①：左左旋转

②：右右旋转

两种情况可以综合到一起，详细见代码。

void Rotate(Treap *&t,int d)
{
	Treap *k=t->ch[d];   //临时变量
	t->ch[d]=k->ch[d^1];  //用要旋转的节点的“反”儿子替换它的位置
	k->ch[d^1]=t;    //旋转上去
	t->Maintain();  //先计算t的大小，因为现在t是k的子节点。
	k->Maintain();
	t=k;   //根节点上移
}

这里参数的含义是，要处理的根节点是t，ch[d]需要旋转。将参数定义成指针的引用是为了方便修改t的地址。

3.查找第K大元素

利用Treap的二叉排序树的性质，左儿子都小于根节点，右儿子大于等于根节点，即可找出第K大元素。

int Kth(Treap*t,int k)
{
	if(t==NULL || k<=0 || t->size<k)return -1; //找不到
	if(t->ch[0]==NULL && k==1)return t->key;  //是当前值
	if(t->ch[0]==NULL)return Kth(t->ch[1],k-1);  //在右子树找，注意要先出去根节点，所以是k-1
	if(t->ch[0]->size >=k )return Kth(t->ch[0],k); //在左子树找，因为左子树上的值都小于当前节点，所以仍然是查找第K大
	if(t->ch[0]->size+1==k)return t->key;
	return Kth(t->ch[1],k-1-t->ch[0]->size); //注意这里k要减1
}

4.删除Treap

为了减小空间的占用，在使用完了Treap之后，要及时的把它删掉，因为是链表，所以只能一个一个的删除。

void DeleteTreap(Treap*&t)
{
	if(t==NULL)return;
	if(t->ch[0]!=NULL)DeleteTreap(t->ch[0]);  //删除左子树
	if(t->ch[1]!=NULL)DeleteTreap(t->ch[1]); //删除右子树
	delete t;  //释放内存
	t=NULL;
}

例题：poj1442 Black Box

题目大意：给n个数，m个查询，每次查询前x个数里面第k大的数，x是升序排列的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<string>
#define rep(i,n) for(i=1;i<=n;++i)
using namespace std;
const int maxn=1000005;
int n,m,val[maxn];
struct Treap
{
	int size,key,fix;
	Treap *ch[2];
	Treap(int k)
	{
		size=1;
		fix=rand();
		key=k;
		ch[0]=ch[1]=NULL;
	}
	int compare(int x)const
	{
		return key==x?-1:x<key?0:1;
	}
	void Maintain()
	{
		size=1;
		if(ch[0]!=NULL)size+=ch[0]->size;
		if(ch[1]!=NULL)size+=ch[1]->size;
	}
};
void Rotate(Treap *&t,int d)
{
	Treap *k=t->ch[d];
	t->ch[d]=k->ch[d^1];
	k->ch[d^1]=t;
	t->Maintain();
	k->Maintain();
	t=k;
}
void insert(Treap *&t,int x)
{
	if(t==NULL)t=new Treap(x);
	else
	{
		int d=x < t->key?0:1;
		insert(t->ch[d],x);
		if(t->fix > t->ch[d]->fix)
			Rotate(t,d);
	}
	t->Maintain();
}
int Kth(Treap*t,int k)
{
	if(t==NULL || k<=0 || t->size<k)return -1;
	if(t->ch[0]==NULL && k==1)return t->key;
	if(t->ch[0]==NULL)return Kth(t->ch[1],k-1);
	if(t->ch[0]->size >=k )return Kth(t->ch[0],k);
	if(t->ch[0]->size+1==k)return t->key;
	return Kth(t->ch[1],k-1-t->ch[0]->size);
}
void DeleteTreap(Treap*&t)
{
	if(t==NULL)return;
	if(t->ch[0]!=NULL)DeleteTreap(t->ch[0]);
	if(t->ch[1]!=NULL)DeleteTreap(t->ch[1]);
	delete t;
	t=NULL;
}
int main()
{
	// freopen("A.in","r",stdin);
	// freopen("A.out","w",stdout);
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		int i,index=1,j;
		rep(i,n)scanf("%d",&val[i]);
		Treap *root=NULL;
		rep(i,m)
		{
			int p;
			scanf("%d",&p);
			for(j=index;j<=p;j++)
				insert(root,val[j]);
			index=p+1;  //更新index
			printf("%d\n",Kth(root,i));
		}
		DeleteTreap(root);  //删除Treap
	}
	return 0;
}