[复变函数]第15堂课 4.3 解析函数的 Taylor 展式

1.  Taylor 定理: 设 $f(z)$ 在 $K:|z-a|<R$ 内解析, 则 $$\bee\label{15:taylor} f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n,\quad z\in K, \eee$$其中 $$\bee\label{15:taylor_coef} \ba{ccc} c_n=&\dps{\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=\rho}\cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\rd \zeta=}&\cfrac{f^{(n)}(a)}{n!}\quad(0<\rho<R),\\ &\mbox{积分形式}&\mbox{微分形式}. \ea \eee$$

证明: $$\beex \bea f(z)&=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=\rho}\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta\\ &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=\rho} \cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-a)-(z-a)}\rd \zeta\\ &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=\rho} \cfrac{f(\zeta)}{\zeta-a}\cdot \cfrac{1}{1-\cfrac{z-a}{\zeta-a}}\rd \zeta\\ &=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=\rho} \cfrac{f(\zeta)}{\zeta-a}\sum_{n=0}^\infty\sex{\cfrac{z-a}{\zeta-a}}^n\rd \zeta\\ &=\sum_{n=0}^\infty (z-a)^n\cdot \cfrac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta-a|=\rho}\cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\rd\zeta\\ &=\sum_{n=0}^\infty (z-a)^n \cfrac{f^{(n)}(a)}{n!}. \eea \eeex$$

(1)  称 \eqref{15:taylor} 为 $f$ 在 $a$ 处的Taylor 展式, \eqref{15:taylor_coef} 为其Taylor 系数, \eqref{15:taylor} 之右端为Taylor 级数.

(2)  解析函数 $f=u+iv$ 的五个等价定义:

a.  $u,v$ 可微, C.R. 方程;

b.  $u_x,u_y,v_x,v_y$ 连续, C.R. 方程;

c.  $\forall$ 周线 $C$, $\dps{\int_C f(z)\rd z=0}$;

d.  $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数 ($\lap u=\lap v=0$, C.R. 方程);

e.  $f$ 在 $D$ 内的任一点 $a$ 的某邻域内可展成关于 $z-a$ 的 Taylor 级数.

2.  幂级数在收敛圆周上的状况

上节课已讲.

3.  一些初等函数的 Taylor 展式

(1)  例: $e^z$, $\sin z$, $\cos z$.

解: 分别用定义, $\sin z=\cfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$, $\cos z=(\sin z)'$.

(2)  例: $e^z\cos z$, $e^z\sin z$.

解: 分别计算 $$\bex e^z\cos z+ie^z\sin z,\quad e^z\cos z-ie^z\sin z.  \eex$$

(3)  例: $\cfrac{z}{z+2},\cfrac{z^2}{z+2},\cfrac{z}{z^2-1}$ 在 $z=1$ 处的Taylor 展式.

作业: P 175 T 5 (1) , (4) ; T 7 (2) , (3) .