[复变函数]第11堂课 3.3 Cauchy 积分定理及其推论

0. 引言

(1) Cauchy 积分定理: 设 $D$ 为 $(n+1)$ 连通区域, $f$ 在 $D$ 内解析且连续到边界 $C$, 则 $\dps{\int_C f(\zeta)\rd \zeta=0}$.

(2) 若 $f$ 在 $D$ 内有奇点, 怎么办? 挖掉它! $$\bex \int_C \cfrac{1}{(\zeta-z)^n}\rd \zeta =\sedd{\ba{ll} 2\pi i,&n=1\\ 0&1\neq n\in\bbZ \ea}\quad\sex{z\in I(C)}. \eex$$

1. Cauchy 积分公式: 假设如 Cauchy 积分定理, 则 $$\bex \int_C\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta=\sedd{\ba{ll} 2\pi if(z),&z\in D\\ 0,&z\not\in D \ea}. \eex$$ 证明: 当 $z\not\in D$ 时, 由 Cauchy 积分定理即知. 当 $z\in D$ 时, 挖掉奇点得 $$\beex \bea \int_C\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta &=\lim_{\rho\to 0^+}\int_{|\zeta-z|=\rho} \cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta\\ &=\lim_{\rho\to 0^+}\int_0^{2\pi} \cfrac{f(z+\rho e^{i\tt})}{\rho e^{i\tt}}\cdot \rho e^{i\tt}i\rd \tt\quad(\zeta=z+\rho e^{i\tt})\\ &=\lim_{\rho\to 0^+}i\int_0^{2\pi}f(z+\rho e^{i\tt})\rd \tt\\ &=2\pi if(z). \eea \eeex$$

(1) 注记:

a. $\zeta=z$ 为 $\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}$ 的唯一奇点.

b. 设 $f$ 沿 $C$ 连续, $z\not\in C$, 则称 $\int_C\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd\zeta$ 为 Cauchy 型积分.

(2) 应用---计算周线积分

a. $\dps{\int_{|\zeta|=2}\cfrac{\zeta}{(9-\zeta^2)(\zeta+i)}\rd \zeta =\int_{|\zeta|=2}\cfrac{\cfrac{\zeta}{9-\zeta^2}}{\zeta+i}\rd \zeta =2\pi i\cfrac{\zeta}{9-\zeta^2}|_{\zeta=-i} =\cfrac{\pi}{5}}$.

b. $\dps{\int_{|\zeta|=2}\cfrac{2\zeta^2-\zeta+1}{\zeta-1}\rd \zeta =2\pi i(2\zeta^2-\zeta+1)|_{\zeta=1}=4\pi i. }$

c. $$\beex \bea \int_{|\zeta|=2}\cfrac{\sin\cfrac{\pi}{4}\zeta}{\zeta^2-1}\rd\zeta &=\cfrac{1}{2}\int_{|\zeta|=2}\sex{\cfrac{\sin \cfrac{\pi}{4}\zeta}{\zeta-1}- \cfrac{\sin\cfrac{\pi}{4}\zeta}{\zeta+1}}\rd \zeta\\ &=\cfrac{1}{2}\cdot 2\pi i\sex{\sin\cfrac{\pi}{4}\zeta|_{\zeta=1}-\sin\cfrac{\pi}{4}\zeta|_{\zeta=-1}}\\ &=\sqrt{2}\pi i. \eea \eeex$$

(3) 推论

a. 解析函数的平均值定理 设 $f$ 在 $|\zeta-z_0|<R$ 内解析, 在 $|\zeta-z_0|=R$ 上连续, 则 $$\bex f(z_0)=\cfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\tt})\rd \tt. \eex$$

b. 假设如 Cauchy 积分公式, 则 $$\bex \int_C \cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\rd \zeta =\cfrac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z),\quad z\in D. \eex$$

c. 应用1---计算周线积分 $$\bex \int_{|\zeta-i|=1}\cfrac{\cos \zeta}{(\zeta-i)^3}\rd \zeta =\cfrac{2\pi i}{2!}(\cos \zeta)''|_{\zeta=i} =-\pi i\cos i =-\pi \cfrac{e^{-1}+e}{2}i; \eex$$ $$\bex \int_{|\zeta|=2}\cfrac{2\zeta^2-\zeta+1}{(\zeta-1)^2}\rd \zeta =\cfrac{2\pi i}{1!}(2\zeta^2-\zeta+1)'|_{\zeta=1} =6\pi i. \eex$$

d. 应用2---解析函数的两个等价定义 $$\bex \serd{\ba{rr} u,v\mbox{ 可微}\\ C.R\mbox{ 方程} \ea}\lra f=u+iv\mbox{ 解析}\lra \sedd{\ba{ll} u_x,u_y,v_x,v_y\mbox{ 连续}\\ C.R\mbox{ 方程} \ea}. \eex$$

e. 应用3---Cauchy 不等式 $$\bex |f^{(n)}(z)|\leq\cfrac{n!}{R^n}\max_{|\zeta-z|=R}|f(\zeta)|. \eex$$ 证明: $$\beex \bea |f^{(n)}(z)| &=\sev{\cfrac{n!}{2\pi i}\int_{|\zeta-z|=R}\cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\rd \zeta}\\ &\leq \cfrac{n!}{2\pi i} \cdot \cfrac{1}{R^{n+1}}\cdot \max_{|\zeta-z|=R}|f(\zeta)|\cdot 2\pi R\\ &\leq\cfrac{n!}{R^n}\max_{|\zeta-z|=R}|f(\zeta)|. \eea \eeex$$

f. 应用4---Liouville 定理: 有界整函数 (在 $\bbC$ 上解析的复变函数) 必为常数.

证明: $$\bex |f'(z)|\leq \cfrac{M}{R}\to 0\quad(R\to \infty). \eex$$

g. 应用5---代数学基本定理: 多项式 $p(z)=a_nz^n+\cdots+a_0\ (a_n\neq 0)$ 在 $\bbC$ 上至少有一个根.

证明: 反证法. 若 $p(z)$ 无根, 则 $f(z)=\cfrac{1}{p(z)}$ 在 $\bbC$ 上解析. 由 $$\bex \lim_{z\to\infty}f(z)=\lim_{z\to\infty}\cfrac{1}{z^n\sex{a_n+\cfrac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\cfrac{a_0}{z^n}}}=0 \eex$$ 知 $f$ 有界. 由 Liouville 定理即知 $f(z)$ 为常数. 这是一个矛盾. 故有结论.

2. Cauchy 积分定理的逆定理---Morera定理: 设 $D$ 为单连通区域, $f$ 在 $D$ 内连续, 若对 $D$ 内任一周线 $C$, $\dps{\int_C f(z)\rd z=0}$, 则 $f$ 在 $D$ 内解析.

证明: 固定 $z_0\in D$, 定义 $$\bex F(z)=\int_{z_0}^zf(\zeta)\rd \zeta\quad(z\in D). \eex$$ 则 $F$ 可导且 $F'=f$. 故 $F$ 解析, $f$ 也解析.

(1) 解析函数的三个等价定义: $$\bex \ba{rrcll} \serd{\ba{rr} u,v\mbox{ 可微}\\ C.R\mbox{ 方程} \ea}&\lra& f=u+iv\mbox{ 解析}&\lra& \sedd{\ba{ll} u_x,u_y,v_x,v_y\mbox{ 连续}\\ C.R\mbox{ 方程} \ea}\\ &&\Updownarrow&&\\ &&\dps{\forall\mbox{ 周线 }C,\ \int_Cf(\zeta)\rd \zeta=0}&& \ea \eex$$

作业: P 140 T 10 (1) (2) .