【2020.12.01提高组模拟】卡特兰数(catalan)

题目

题目描述

今天，接触信息学不久的小\(A\)刚刚学习了卡特兰数。

卡特兰数的一个经典定义是，将\(n\)个数依次入栈，合法的出栈序列个数。

小\(A\)觉得这样的情况太平凡了。于是，他给出了\(m\)组限制，每个限制形如\((f_i,g_i)\)，表示\(f_i\)不能在\(g_i\)之后出栈。

他想求出：在满足了这\(m\)组限制的前提下，共有多少个合法的出栈序列。他不喜欢大数，你只需要求出答案在模\(998244353\)意义下的值即可。

输入格式

输入第一行为两个非负整数，\(n\)、\(m\)，含义题面已给出。

接下来\(m\)行，每行两个正整数，\((f,g)\) 表示一组限制。

输出格式

输出一行，为一个非负整数，表示你求得的答案 \(mod\space 998244353\)。

样例输入

3 1
2 3

样例输出

3

样例解释

可以验证\(\{1,2,3\}\)，\(\{2,1,3\}\)，\(\{2,3,1\}\)都是合乎条件的。

数据规模

\(编号\)	\(分值\)	\(n\)	\(m\)	\(特殊性质\)
\(1\)	\(15\)	\(\le 300\)	\(= 0\)
\(2\)	\(15\)	\(\le 7\)	\(\le 10\)
\(3\)	\(15\)	\(\le 100\)	\(\le 50\)
\(4\)	\(15\)	\(\le 300\)		\(保证所有的f_i相同\)
\(5\)	\(20\)	\(\le 300\)	\(\le 300\)
\(6\)	\(20\)	\(\le 300\)

对于全部的数据，保证\(n\le 300\)，\(m\le \frac{n(n-1)}{2}\)，\(f_i、g_i \le n\)。

题解

题目大意：\(n\)个数以此入栈，问在满足\(m\)个形如\(f_i\)不能在\(g_i\)后出栈的限制的出栈序列数

45%

我们知道卡特兰数有个推导公式是\(f_i=\sum_{i=1}^nf_i\times f_{n-i-1}\),这个公式实际上是枚举了最后出栈的数

那么扩展到这题，我们将\(dp\)转换为区间\(dp\)，枚举\(k\)为最后出栈的数，那么有两种情况不合法：\(f=k\)或者\(f>k>g\)。当\(f=k\)的时候，\(f\)是最后出栈的，显然不合法。而我们知道，小于\(k\)总是比大于\(k\)的先出栈，所以当\(f>k>g\)时也是不合法的

设\(f[i][j]\)表示\(i\)到\(j\)这个区间的合法出栈序列，那么在上述两种不合法的情况不成立的情况下，\(f[i][j]+=f[i][k-1]\times f[k+1][j]\)

时间复杂度\(O(n^3m)\)，预计得分\(45\)

100%

考虑优化\(dp\)，在\(O(1)\)的时间内判断合不合法。不合法条件\(f>k>g\)成立，说明\(f>g\)，那么在读入时\(f>g\)的放入平面直角坐标系中，坐标\((f,g)\)，那么可以前缀和优化

记录前缀和\(sm[i][j]\)和\(l[i][j]\)，分别记录\(f>g\)以及所有的点，用来判断\(f>k>g\)和\(f=k\)的情况

构造一个矩形

其中\(i,j,k\)分别是区间起点，终点，以及最后出栈的数

\(f=k\)说明\(l[k][j]-l[k][i-1]>0\)，而如果矩形\(sm(i,i,j,k-1)-sm(i,i,k,j)>0\)，说明有\(f>k>g\)的情况，这两种情况都是不合法的

这样的话时间复杂度优化到了\(O(n^3)\)，预计得分\(100\)

Code

#include<cstdio>
#define mod 998244353
#define N 310
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,f[N][N],sm[N][N],al[N][N];
ll get(ll x,ll y,ll p,ll q) {return sm[x][y]-sm[x][q-1]-sm[p-1][y]+sm[p-1][q-1];}
int main()
{
	freopen("catalan.in","r",stdin);
	freopen("catalan.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for (ll i=1,x,y;i<=m;++i)
	{
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		if (x!=y)
		{
			if (x>y) ++sm[x][y];
			++al[x][y];
		}
	}
	for (ll i=1;i<=n;++i)
		for (ll j=1;j<=n;++j)
		{
			sm[i][j]=sm[i][j]+sm[i-1][j]+sm[i][j-1]-sm[i-1][j-1];
			al[i][j]=al[i][j]+al[i][j-1];
		}
	for (ll i=1;i<=n;++i)
		f[i][i]=f[i+1][i]=f[i][i-1]=1;
	for (ll len=2;len<=n;++len)
		for (ll i=1;i+len-1<=n;++i)
		{
			ll j=i+len-1;
			for (ll k=i;k<=j;++k)
			{
				ll x;
				if (k>i) x=get(j,k-1,i,i)-get(k,j,i,i);
				else x=0;
				ll y=al[k][j]-al[k][i-1];
				if (x<=0&&y<=0) f[i][j]=(f[i][j]+f[i][k-1]*f[k+1][j]%mod)%mod;
			}
		}
	printf("%lld\n",f[1][n]);
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}