table maker's delimma

table maker's delimma是计算机浮点数精度的一个问题。

浮点数的表示方式

计算机能表示的数字都是有理数，所有的有理数都可以归结为下面的模式：
1.@@@ × 2^####

其中，@@@ 和 ####都表示0或1，上式的意思是任何一个有理数总可以表示为1点几 乘以 2的 ####次方。注意，这里都使用的是2进制。

在计算机中一个浮点数就由三部分组成：

• 符号位，1个bit，0或1表示正负
• 小数部分，即上面的@@@，对float，小数位有23位，double float有52位
• 指数部分，即上面的####，float有8位，double float有11位。

不是所有的有理数都可以在计算机里表示。比如x=1.00000000....000001  当中间的0多于51个时，double float也无法容纳小数部分，计算机只能自动截取，把尾部的1忽略掉了。x的表示和1.0没有区别。可以精确存储的数，我们称作可表示的数。

如何近似

计算机无法存储一个无理数，我们只能使用无理数的有理数近似，而且这个。IEEE-745 规定了几种近似方法：靠近0，靠近+∞，靠近-∞，靠近最近的可以表示的有理数。

table maker's delimma 

对sin cos log 这类函数f，计算结果是无理数，我们不能用有限的小数位精确表示。那么如何计算 y=f(x)？计算机中我们使用近似值 y*。我们期望y和y* 的差距足够小。我们期望找到一个最小的整数m，使得 |y-y*|<2^-m.

困境在于，无论我们用无法找到一致的m，使得在任何一种近似方法下，保证y和y*的近似值是相同的。

注释一下，这里的“一致”是一致收敛的一致，即对任何y和y*都存在一个相同的m。比如对y₁,y₁*可以用m₁套住，但总有无法用m₁套住的y₂,y₂*

参考：

http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/Intro-to-TMD.htm

http://www.vinc17.org/research/slides/aoc2000-11.pdf