0x33 同余

目录

• 定义
• 同余类与剩余系
• 费马小定理
• 欧拉定理
  • 证明：
• 欧拉定理的推论
  • 证明：
  • 应用：

定义

若整数 $a$ 和整数 $b$ 除以正整数 $m$ 的余数相等，则称 $a,b$ 模 $m$ 同余，记为：

$$a \equiv b(mod \text{ } m)$$

同余类与剩余系

对于 $\forall a\in [0,m-1]$ ，集合 $\{ a+km \}$ $(k \in \mathbb{N})$ 的所有数模 $m$ 同余，余数都是 $a$ 。该集合称为一个模 $m$ 的同余类，简记为 $\overline{a}$ 。

由对于模n同余的所有整数组成的这个集合称为同余类，同余类中的每个元素都可以拿来代表该同余类，称为该同余类的代表数，如模 $10$ 的同余类 $\overline{1}, \overline{11}, \overline{21}$ 其实是同一个集合。

模 $m$ 的同余类一共有 $m$ 个，分别为 $\overline{0}, \overline{1}, \overline{2} \dots， \overline{m-1}$ ，它们构成 $m$ 的完全剩余系。

$1 \sim m$ 中与 $m$ 互质的数代表的同余类共有 $\varphi(m)$ 个，他它们构成了 $m$ 的简化剩余系，例如模10的简化剩余系为 ${\overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9}}$ 或 ${\overline{11}, \overline{13}, \overline{27}, \overline{29}}$ 。

简化剩余系关于模 $m$ 乘法封闭，因为：若 $gcd(a,m)=1$ 且 $gcd(b,m)=1$，其中 $1 \le a,b \le m$ ，则 $a \ast b$ 也不可能与 $m$ 含有相同的质因子，即 $gcd(a \ast b,m)=1$ 再由余数的定义即可得到 $gcd(a \ast b \text{ } mod \text{ } m,m)=1$ （参考下面的证明），即 $a \ast b \text{ } mod \text{ } m$ 也属于 $m$ 的简化剩余系。

证明：
已知： $gcd(a,m)=1$
求证： $gcd(a \text{ } mod \text{ }m, m)=1$
证明：
$a$ 的余数可以表示为 $a+km,k\in\mathbb{Z}$
设 $gcd(a+km,m)=d\neq1$
则 $a+km=pd,m=qd$
将 $m=qd$ 代入 $a+km=pd$ 得 $a+kqd=pd$
移项、合并同类项得 $a=d(p-kq)$
这样 $d|a,d|m$ ，所以 $gcd(a,m)\ge d\ne1$
与 $gcd(a,m)=1$ 矛盾
证毕。

费马小定理

若 $p$ 是质数，则对于任意整数 $a$ ，有 $a^p \equiv a(mod \text{ }p)$ 。

欧拉定理

若正整数 $a,n$ 互质，则 $a^{\varphi(n)} \equiv1(mod \text{ }n)$，其中 $\varphi(n)$ 为欧拉函数。

即：假如 $a$ 是一个整数， $p$ 是一个质数，那么 $a^{p}-a$ 是p的倍数。

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成 $a^{p-1} \equiv 1(mod \text{ }p)$ 。

证明：

设 $n$ 的简化剩余系为 $\{ \overline{a_1}, \overline{a_2}, \overline{a_3} \dots \overline{a_{\varphi(n)}}\}$ 。对 $\forall a_i,a_j$ ，若 $a \ast a_i \equiv a \ast a_j (mod \text{ } n)$ ，则移项、合并同类项得 $a \ast (a_i - a_j) \equiv 0$ 。因为 $a,n$ 互质，所以 $a_i - a_j=0$ ，即 $a_i \equiv a_j$ 。故当 $a_i \ne a_j$ 时， $a a_i,a a_j$ 也代表不同的同余系。

又因为简化同余系关于模 $n$ 乘法封闭，故 $a a_i$ 也在简化剩余系集合中。因此 $\{a_1, a_2, a_3 \dots a_{\varphi(n)} \}$ 与 $\{a a_1, a a_2, a a_3 \dots a a_{\varphi(n)} \}$ 都能表示 $n$ 的简化剩余系。综上所述：

$$a^{\varphi(n)} a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)} \equiv (a a_1) (a a_2) \dots (a a_{\varphi(n)}) \equiv a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)} (mod \text{ } n)$$

因此：

$$a^{\varphi(n)}} \equiv 1 (mod \text{ } n)$$

当 $p$ 是质数时， $\varphi(p)=p-1$，并且只有 $p$ 的倍数与 $p$ 不互质。所以，只要 $a$ 不是 $p$ 的倍数，就有 $a^{p-1} \equiv 1(mod \text{ }p)$ ，两边同时乘上 $a$ 就是费马小定理。另外，若 $a$ 是 $p$ 的倍数，费马小定理显然成立。

证毕。

欧拉定理的推论

若正整数 $a,n$ 互质，则对于任意的正整数 $b$ ，有

$a^b \equiv a^{b \text{ } mod \text{ } \varphi(n)} (mod \text{ } n)$

证明：

设 $b=q \ast \varphi(n)+r$ ，其中 $0 \le r < \varphi(n)$ ，即 $r=b \text{ } mod \text{ } \varphi(n)$ 。于是：

$a^b \equiv a^{q \ast \varphi(n)+r} \equiv (a^q)^{\varphi(n)} \ast a^r \equiv 1^q \ast a^r \equiv a^r \equiv a^{b \text{ } mod \text{ } \varphi(n)}(mod \text{ } n)$

证毕。

特别地，当 $a,n$ 不一定互质且 $b>\varphi(n)$ 时，有

$a^b \equiv a^{b \text{ } mod \text{ } \varphi(n)+\varphi(n)} (mod \text{ } n)$

证明方法：指数循环节，留个坑，以后再填。

应用：

许多计数类题目要求把答案对一个质数 $p$ 取模后输出，在计算 $a+b, a\ast b$ 这样的算式时，就可以先把 $a,b$ 对 $p$ 取模，再进行运算。而对于形如 $a^p$ 的乘方算式，可以先将底数 $a$ 对 $p$ 取模、指数 $p$ 对 $\varphi(n)$ 取模，再进行计算，避免溢出。