饥饿的小易（枚举+广度优先遍历（BFS））

题目描述

小易总是感觉饥饿，所以作为章鱼的小易经常出去寻找贝壳吃。最开始小易在一个初始位置x_0。对于小易所处的当前位置x，他只能通过神秘的力量移动到 4 * x + 3或者8 * x + 7。因为使用神秘力量要耗费太多体力，所以它只能使用神秘力量最多100,000次。贝壳总生长在能被1,000,000,007整除的位置(比如：位置0，位置1,000,000,007，位置2,000,000,014等)。小易需要你帮忙计算最少需要使用多少次神秘力量就能吃到贝壳。

输入描述:

输入一个初始位置x_0,范围在1到1,000,000,006

输出描述:

输出小易最少需要使用神秘力量的次数，如果使用次数使用完还没找到贝壳，则输出-1

示例1

输入

125000000

输出

1

分析:

　　这道题我们只能把每步都分为两种情况，使用神秘力量1（4 * x + 3）和使用神秘力量2（8 * x + 7）。从出发点开始枚举，使用广度优先遍历算法（BFS）。由于贝壳出现在能被1,000,000,007整除的位置，所以我们只需要考虑%1000000007后的结果。我们要记录初次到达某个位置时使用了几次神秘力量。

第一种方法：

from collections import deque
mod = 1e9+7
n = int(raw_input().strip())
currentPos = n%mod
power = {}
power[currentPos] = 0
d = deque()
d.append(currentPos)
flag = False
while len(d):
    currentPos = d.popleft()
    if power[currentPos] > 100000:
        break
    if currentPos == 0:
        flag = True
        break
    nextPos = (4*currentPos+3)%mod
    if nextPos not in power:
        power[nextPos] = power[currentPos]+1
        d.append(nextPos)
    nextPos = (8*currentPos+7)%mod
    if nextPos not in power:
        power[nextPos] = power[currentPos]+1
        d.append(nextPos)
if flag:
    print(power[currentPos])
else:
    print(-1)

第二种方法：

观察变换形式，并做变形：

4x+3=4(x+1)-1

8x+7=8(x+1)-1

如果多层嵌套呢？

y=4x+3

8y+7=8((4(x+1)-1)+1)-1=8(4(x+1))-1=32(x+1)-1

如果你多枚举一些，就会发现，能变换出的数的形式都是：

a(x+1)-1，其中a是2的>=2的幂次数（4、8、16、32、64、……）

我们可以利用这个特点

考虑直接枚举那个a，从2^2一直到……等等，最大是2的多少次？

答：直接考虑最大情况，每次变换都选择8x+7那种，也就是，每次a乘上8，也就是说，最坏是(2^3)^100000=2^300000次

所以，枚举a，从2^2次，一直到2^300000次

然后，对每个a检查一下，乘起来结果%1e9+7是不是0，如果是0，说明100000次之内有解

——问：那最小要执行几次变换？

答：我们直接贪心，尽量让a乘8（乘2次8和乘3次4一样大，当然是乘8越多，变换次数越少）

——问：如果我发现a==2^5或a==2^4的时候满足要求，但是5和4才不能表示成3的倍数，怎么办？

答：别忘了你手上还有4x+3的变换（就是a乘4的变换）

对5这种情况，除以3余2，那刚好，用一次乘4的变换就行了

对4这种情况，除以3余1，我们考虑，消去一个乘8的变换，用2个乘4的变换代替并补足。

n = int(raw_input().strip())
mod = int(1e9+7)
ans = -1
time = 4
for i in range(1,300001):
    x = (n*time+time-1)%mod
    if x == 0:
        ans = (i+1)/3
        if (i+1)%3:
            ans += 1
        break
    time = (time*2)%mod
print(ans)

第二种方法要比第一种方法高效一点

参考博客：

http://blog.csdn.net/fcxxzux/article/details/52138964#t0