「知识学习」二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法（HDU-2063）

定义

如果一个图\((E,V)\)的顶点集\(E\)能够被能够被分成两个不相交的集合\(X,Y\)，且每一条边都恰连接\(X,Y\)中的各一个顶点，那么这个图就是一个二分图。

容易得知，它就是不含有奇数环的图（这个等价定义有时候很重要）。

一个匹配是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。顾名思义可以得到一个图的最大匹配的定义。特别地，如果一个图的某个匹配中，所有顶点都是匹配点，那么它是一个完美匹配。

由完美匹配和最大匹配这两个定义我们可以得到两类问题：

1. 有没有可能使得所有顶点都被匹配？
2. 一个图中最多有多少个顶点参与了匹配？

求解最大匹配：匈牙利算法

对于一个正在求匹配的图，我们把依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边、……形成的路径叫交替路；而如果一个未匹配点走交替路到了另外一个未匹配点，那么这条交替路成为增广路。

仔细思考一下，就会发现增广路的一个特点：非匹配边比匹配边多一条。这有什么意义呢？当我们把增广路中匹配边、非匹配边的性质交换后，匹配的性质不变，但是匹配边多了一条——我们改进了匹配。

因此，我们可以通过不停的找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。然后，根据增广路定理，一个图找不到增广路时，就是它达到最大匹配的时候。

下面简单的说一下匈牙利算法：

1. 从二分节点后的左边第1个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
   
   a. 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数+1，停止搜索。
   
   b. 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
2. 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用pre数组。
   
   上面提到了匈牙利树。那么这个是什么？匈牙利树他是这样的性质，从根节点到叶节点的路径均是交替路，且匈牙利树的叶节点都是匹配点。

例题：HDU-2063 过山车

经典板子题。

#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi first
#define se second
#define ZERO(x) memset((x), 0, sizeof(x))
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define rep(i, a, b) for (repType i = (a); i <= (b); ++i)
#define per(i, a, b) for (repType i = (a); i >= (b); --i)
#define QUICKIO                  \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0);                  \
    cout.tie(0);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef int repType;
const int MAXN=505;
int k,m,n;
bool mat[MAXN][MAXN],used[MAXN];
int linker[MAXN];

int dfs(int boy)
{
	rep(g,1,n) // girl
	{
		if(mat[boy][g] && !used[g])
		{
			used[g]=true;
			if(linker[g]==-1 || dfs(linker[g]))
			{
				linker[g]=boy;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int hungary()
{
	int ans=0;
	memset(linker,-1,sizeof(linker));
	rep(b,1,m) // boy
	{
		ZERO(used);
		if(dfs(b)) ans++;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	while(cin>>k)
	{
		if(!k) break;
		cin>>m>>n;
		ZERO(mat);
		rep(i,1,k)
		{
			int a,b; cin>>a>>b;
			mat[a][b]=true;
		}
		cout<<hungary()<<endl;
	}
	return 0;
}

其他的题型

简单改一下：HYSBZ - 1191 超级英雄Hero

最小路径覆盖

二分图最大独立集

参考网址与资源

https://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html

https://www.cnblogs.com/YiXiaoZhou/p/5875040.html

https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/26/2657446.html