【bzoj1076】[SCOI2008]奖励关 期望dp+状态压缩dp

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。 宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入

第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

输出

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

样例输入

1 2
1 0
2 0

样例输出

1.500000

提示

【数据规模】

1<=k<=100,1<=n<=15，分值为[-10^6,10^6]内的整数。

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题解

期望dp+状态压缩dp

最好采用倒推，不需要考虑不存在的情况。

f[i][j]表示选第i次之前状态为j的最大期望，

那么每次枚举到一种宝物，判断其能否选，推出期望值。

答案就是f[1][0]

#include <cstdio>
int sc[20] , need[20];
double f[102][32770];
double max(double a , double b)
{
    return a > b ? a : b;
}
int main()
{
    int k , n , i , j , l , x;
    scanf("%d%d" , &k , &n);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        scanf("%d" , &sc[i]);
        while(scanf("%d" , &x) && x != 0)
            need[i] |= 1 << (x - 1);
    }
    for(i = k ; i ; i -- )
    {
        for(j = 0 ; j < 1 << n ; j ++ )
        {
            for(l = 1 ; l <= n ; l ++ )
                if(!((~j) & need[l]))
                    f[i][j] += max(f[i + 1][j] , f[i + 1][j | (1 << (l - 1))] + sc[l]);
                else
                    f[i][j] += f[i + 1][j];
            f[i][j] /= n;
        }
    }
    printf("%.6lf\n" , f[1][0]);
    return 0;
}