抱歉因为NOIP集训,好长时间没再写题解了。

NOI 2015也就只有这道题一看就能懂了……

4198: [Noi2015]荷马史诗

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Description

追逐影子的人,自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后,细细地品上一杯卡布奇诺,静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了,Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。
一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词,从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词,使得其满足如下要求:
对于任意的 1≤i,j≤n,i≠j,都有:si 不是 sj 的前缀。
现在 Allison 想要知道,如何选择 si,才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下,Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少?
一个字符串被称为 k 进制字符串,当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间(包括 0 和 k−1)的整数。
字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀,当且仅当:存在 1≤t≤m,使得 Str1=Str2[1..t]。其中,m 是字符串 Str2 的长度,Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

Input

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k,中间用单个空格隔开,表示共有 n 种单词,需要使用 k 进制字符串进行替换。

接下来 n 行,第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi,表示第 i 种单词的出现次数。

Output

输出文件包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数,为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。
第 2 行输出 1 个整数,为保证最短总长度的情况下,最长字符串 si 的最短长度。

Sample Input

4 2
1
1
2
2

Sample Output

12
2

HINT

用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。
一种最优方案:令 00(2) 替换第 1 种单词,01(2) 替换第 2 种单词,10(2) 替换第 3 种单词,11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为:
1×2+1×2+2×2+2×2=12
最长字符串 si 的长度为 2。
一种非最优方案:令 000(2) 替换第 1 种单词,001(2) 替换第 2 种单词,01(2) 替换第 3 种单词,1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为:
1×3+1×3+2×2+2×1=12
最长字符串 si 的长度为 3。与最优方案相比,文章的长度相同,但是最长字符串的长度更长一些。
对于所有数据,保证 2≤n≤100000,2≤k≤9。
选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。
 
这道题要是没学过Huffman还能想出来就超神了……但是Huffman好像是普及组都学过的知识吧。
一般的Huffman树都是二叉的,其思想是每次取数列中权值最小的两个节点,合并成一个新的节点作为他们的父亲,其权值为两子节点权值之和。具体实现可以使用优先队列维护(就是个堆)
而这道题设计的k进制数字串就加大了这个题目的难度(虽然实际上也不是很难)
题目中的“对于任意的 1≤i,j≤n,i≠j,都有:si 不是 sj 的前缀。”这个条件就告诉我们,这道题是个k叉Huffman树。
又因为题目中要求最长的si的长度最小值,所以我们可以使用二元组(val,dep)添加到优先队列里面去,排列方法就是先按val的值升序,再按dep的值升序。
考虑到k比较小,每次贪心Huffman树的时候最多会执行k+1次操作,所以这个对时间复杂度O(nlogn)并没有太大的影响。
有一个点需要注意:每次选择k个权值最小的点的时候容易让最后一次合并的时候的点不足k个。假设最初有n个点,最后有1个点,每次合并删除k个点又放进1个点。那么易得:(n-1)是(k-1)的倍数。如果(n-1)%(k-1)!=0,那么就要再放入(k-1-(n-1)%(k-1))个虚拟点,并且它们的权值为0,它们也参与求最小k个点。 
所以,可以得到此题的算法: 
1)处理这n个权值,加入虚拟点,这些点的val值上文已经告诉,dep值为0,ans=0; 
2)每次取出前k小的点,求它们的val之和sum,求它们的dep的最大值d,那么放入的新点应该是(sum,d+1),把它放入原来的容器里面并要求有序,且ans+=sum(画一棵哈夫曼树,想想求文章长度的过程能这么实现的原理); 
3)当容器内只有一个点时,输出ans和这个点的dep值。 
 #include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, k, top;
struct _data {
ll w,h;
bool operator < (const _data &x) const {
return this->w != x.w ? this->w > x.w : this->h > x.h;
}
};
priority_queue<_data> q;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &k);
for(int i = ; i <= n; i++) {
ll w; scanf("%lld", &w);
q.push((_data){w, });
}
if((n - ) % (k - ) != )top = k - - (n - ) % (k - );
for(int i = ; i <= top; i++)
q.push((_data){, });
top += n;
ll ans = ;
for(; top != ; top -= k - ) {
ll w = ,h = ;
for(int i = ; i <= k; i++) {
_data x = q.top();
q.pop();
w += x.w; h = max(h, x.h);
}
ans += w;
q.push((_data){w, h + });
}
printf("%lld\n%lld\n", ans, q.top().h);
return ;
}

注意优先队列的顺序定义(重载<运算符部分)!!!

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