[主席树]ZOJ2112 && BZOJ1901 Dynamic Rankings

题意：n个数，q个询问 (n<=50000, q<=10000)

Q x y z 代表询问[x, y]区间里的第z小的数

C x y    代表将(从左往右数)第x个数变成y

上篇介绍了在[x, y]区间内查询第z小的数的方法(静态主席树)

本题有更新操作

若仍用上篇的做法，

每次更新一个数，需要更新的是T[i], T[i+1]... ...T[n](该数所在的树以及它后面的所有树)

因为每棵树T[i]所记录的都是前缀(1到i的数出现的次数) 因此，改变i，会影响i到n的所有树

这样，每次更新的复杂度最坏为O($n$)，最坏更新q次即为O($n\times m$) 复杂度相当庞大，很明显这样做是不行的

那怎么办呢？

我们可以发现，对于改变i处的数这个操作，对于T[i], T[i+1]... ...T[n]这些树的影响是相同的

都只改变了  “原来i处的数 的数量”  和  “现在i处的数 的数量” 这两个值而已

我们只要在原来的基础上增加一类树， 用它们来维护更新掉的数

即用树状数组来记录更新，每次更新$logn$棵树

下面来演示一下建树到查询的过程：

比如此题的第一个案例

Q
C
Q   

先将序列以及要更新的数(C操作)离散化

即3 2 1 4 7 、 6  ---->(排序) ----> 1 2 3 4 6 7

那么我们就需要建一棵这样的树：

(圈里的都是结点的编号， 4、5、6、9、10、11号结点代表的分别是1、2、3、4、6、7)

(4、5、9、10你也可以任意作为6或11的儿子， 递归生成的是类似这样的， 这并不重要)

对于3 2 1 4 7(先不管需要更新的6)建完树见下图(建树过程同静态的，不明白的戳这里，上篇博客有讲)

(红色的是个数， 相同结点的个数省略了，同前一棵树)

对于C操作之前的Q，就跟静态的类似，减一减 找就好了

然后下面要更新了

对于更新， 我们不改变这些已经建好的树， 而是另建一批树S，用来记录更新，而这批线段树，我们用树状数组来维护

也就是树状数组的每个节点都是一颗线段树

一开始，S[0]、S[1]、S[2]、S[3]、S[4]、S[5](树状数组的每个节点)这些都与T[0]相同(也就是每个节点建了一棵空树)

对于C 2 6 这个操作， 我们只需要减去一个2，加上一个6即可

对于减去2

(树状数组i+lowbit(i)为i的父亲节点， 修改i，就要把i的所有父亲节点都修改了)

2在树状数组中出现的位置是 2、2+lowbit(2)=4 这两个位置，

因此要更新的是S[2]和S[4]这两个节点中的树

删去2后是这样

加上一个6 (同样是对于2号位置， 因此需要更新的仍是S[2]和S[4])

加上之后是这样

当查询的时候， 对树T的操作与静态的一致，另外再加上S树的值就好了

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 #define lson l, m
 #define rson m+1, r
 const int N=;
 int a[N], Hash[N];
 int T[N], L[N<<], R[N<<], sum[N<<];
 int S[N];
 int n, m, tot;
 struct node
 {
     int l, r, k;
     bool Q;
 }op[];

 int build(int l, int r)
 {
     int rt=(++tot);
     sum[rt]=;
     if(l!=r)
     {
         int m=(l+r)>>;
         L[rt]=build(lson);
         R[rt]=build(rson);
     }
     return rt;
 }

 int update(int pre, int l, int r, int x, int val)
 {
     int rt=(++tot);
     L[rt]=L[pre], R[rt]=R[pre], sum[rt]=sum[pre]+val;
     if(l<r)
     {
         int m=(l+r)>>;
         if(x<=m)
             L[rt]=update(L[pre], lson, x, val);
         else
             R[rt]=update(R[pre], rson, x, val);
     }
     return rt;
 }

 int lowbit(int x)
 {
     return x&(-x);
 }

 int use[N];
 void add(int x, int pos, int val)
 {
     while(x<=n)
     {
         S[x]=update(S[x], , m, pos, val);
         x+=lowbit(x);
     }
 }

 int Sum(int x)
 {
     int ret=;
     while(x>)
     {
         ret+=sum[L[use[x]]];
         x-=lowbit(x);
     }
     return ret;
 }

 int query(int u, int v, int lr, int rr, int l, int r, int k)
 {
     if(l>=r)
         return l;
     int m=(l+r)>>;
     int tmp=Sum(v)-Sum(u)+sum[L[rr]]-sum[L[lr]];
     if(tmp>=k)
     {
         for(int i=u;i;i-=lowbit(i))
             use[i]=L[use[i]];
         for(int i=v;i;i-=lowbit(i))
             use[i]=L[use[i]];
         return query(u, v, L[lr], L[rr], lson, k);
     }
     else
     {
         for(int i=u;i;i-=lowbit(i))
             use[i]=R[use[i]];
         for(int i=v;i;i-=lowbit(i))
             use[i]=R[use[i]];
         return query(u, v, R[lr], R[rr], rson, k-tmp);
     }
 }

 void modify(int x, int p, int d)
 {
     while(x<=n)
     {
         S[x]=update(S[x], , m, p, d);
         x+=lowbit(x);
     }
 }

 int main()
 {
     int t;
     scanf("%d", &t);
     while(t--)
     {
         int q;
         scanf("%d%d", &n, &q);
         tot=;
         m=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             scanf("%d", &a[i]);
             Hash[++m]=a[i];
         }
         for(int i=;i<q;i++)
         {
             char s[];
             scanf("%s", s);
             if(s[]=='Q')
             {
                 scanf("%d%d%d", &op[i].l, &op[i].r, &op[i].k);
                 op[i].Q=;
             }
             else
             {
                 scanf("%d%d", &op[i].l, &op[i].r);
                 op[i].Q=;
                 Hash[++m]=op[i].r;
             }
         }
         sort(Hash+, Hash++m);
         int mm=unique(Hash+, Hash++m)-Hash-;
         m=mm;
         T[]=build(, m);
         for(int i=;i<=n;i++)
             T[i]=update(T[i-], , m, lower_bound(Hash+, Hash++m, a[i])-Hash, );
         for(int i=;i<=n;i++)
             S[i]=T[];
         for(int i=;i<q;i++)
         {
             if(op[i].Q)
             {
                 for(int j=op[i].l-;j;j-=lowbit(j))
                     use[j]=S[j];
                 for(int j=op[i].r;j;j-=lowbit(j))
                     use[j]=S[j];
                 printf("%d\n", Hash[query(op[i].l-, op[i].r, T[op[i].l-], T[op[i].r], , m, op[i].k)]);
             }
             else
             {
                 modify(op[i].l, lower_bound(Hash+, Hash++m, a[op[i].l])-Hash, -);
                 modify(op[i].l, lower_bound(Hash+, Hash++m, op[i].r)-Hash, );
                 a[op[i].l]=op[i].r;
             }
         }
     }
     return ;
 }

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