bzoj 2095: [Poi2010]Bridges（二分法+混合图的欧拉回路）

【题意】

给定n点m边的无向图，对于边u,v，从u到v边权为c，从v到u的边权为d，问能够经过每条边一次且仅一次，且最大权值最小的欧拉回路。

【思路】

二分答案mid，然后切断权值大于mid的边，原图就变成了一个既有无向边又有有向边的混合图，则问题转化为求混合图上是否存在一个欧拉回路。

无向图存在欧拉回路，当且仅当图的所有顶点度数都为偶数且图连通。

     有向图存在欧拉回路，当且仅当图的所有顶点入度等于初度且图连通。

一条边仅经过一次，所以无向边最终的归属就是有向边，即我们要给无向边定向使存在欧拉回路。

先将无向边随便确定一个方向然后计算出入度in和出度out，当x=abs(in-out)为奇数时不存在欧拉回路，因为不论如何定向都不满足入度与出度相等。

构图：对于随便定向的无向边(u，v)，添加一条(v,u,1)的边代表可以反悔一次添加一条v->u的边，如果入度>出度，由源点S连边(S,i,x/2)，如果初度>入度，则连边(i,T,x/2)，分别表示应该反悔x/2次增加出度/入度边。

　 跑一次最大流，当网络满载时mid可行。

【代码】

 #include<set>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define trav(u,i) for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N = 2e3+;
 const int inf = 1e9;

 ll read() {
     char c=getchar();
     ll f=,x=;
     while(!isdigit(c)) {
         if(c=='-') f=-; c=getchar();
     }
     while(isdigit(c))
         x=x*+c-'',c=getchar();
     return x*f;
 }

 struct Edge {
     int u,v,cap,flow;
 };
 struct Dinic {
     int n,m,s,t;
     int d[N],cur[N],vis[N];
     vector<int> g[N];
     vector<Edge> es;
     queue<int> q;
     void init(int n) {
         this->n=n;
         es.clear();
         FOR(i,,n) g[i].clear();
     }
     void AddEdge(int u,int v,int w) {
         es.push_back((Edge){u,v,w,});
         es.push_back((Edge){v,u,,});
         m=es.size();
         g[u].push_back(m-);
         g[v].push_back(m-);
     }
     int bfs() {
         memset(vis,,sizeof(vis));
         q.push(s); d[s]=; vis[s]=;
         while(!q.empty()) {
             int u=q.front(); q.pop();
             FOR(i,,(int)g[u].size()-) {
                 Edge& e=es[g[u][i]];
                 int v=e.v;
                 if(!vis[v]&&e.cap>e.flow) {
                     vis[v]=;
                     d[v]=d[u]+;
                     q.push(v);
                 }
             }
         }
         return vis[t];
     }
     int dfs(int u,int a) {
         if(u==t||!a) return a;
         int flow=,f;
         for(int& i=cur[u];i<g[u].size();i++) {
             Edge& e=es[g[u][i]];
             int v=e.v;
             if(d[v]==d[u]+&&(f=dfs(v,min(a,e.cap-e.flow)))>) {
                 e.flow+=f;
                 es[g[u][i]^].flow-=f;
                 flow+=f; a-=f;
                 if(!a) break;
             }
         }
         return flow;
     }
     int MaxFlow(int s,int t) {
         this->s=s,this->t=t;
         int flow=;
         while(bfs()) {
             memset(cur,,sizeof(cur));
             flow+=dfs(s,inf);
         }
         return flow;
     }
 } dc;

 int n,m,S,T,u[N],v[N],c[N],d[N],in[N],out[N];

 int can(int M)
 {
     memset(in,,sizeof(in));
     memset(out,,sizeof(out));
     dc.init(n+);
     int sum=,x;
     FOR(i,,m) {
         if(c[i]<=M) out[u[i]]++,in[v[i]]++;
         if(d[i]<=M) dc.AddEdge(v[i],u[i],);
     }
     FOR(i,,n) if(abs(in[i]-out[i])&) return ;
     FOR(i,,n) {
         x=in[i]-out[i];
         sum+=x>?x>>:;
         if(x>) dc.AddEdge(S,i,x>>);
         if(x<) dc.AddEdge(i,T,(-x)>>);
     }
     return dc.MaxFlow(S,T)==sum;
 }
 int main()
 {
     n=read(),m=read();
     S=,T=n+;
     int L=inf,R=;
     FOR(i,,m) {
         u[i]=read(),v[i]=read(),c[i]=read(),d[i]=read();
         if(c[i]>d[i]) swap(c[i],d[i]),swap(u[i],v[i]);
         L=min(L,c[i]),R=max(R,d[i]);
     }
     while(L<R) {
         int M=L+(R-L)/;
         if(can(M)) R=M; else L=M+;
     }
     if(!can(L)) puts("NIE"); else printf("%d",L);
     return ;
 }