Nowcoder217D msc的背包 背包、生成函数、组合

传送门

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发现这是一个背包问题，而\(k\)又很大，考虑生成函数方式解决这个问题。

对于体积为\(1\)的物品的生成函数为\(\frac{1}{1 - x}\)，体积为\(2\)的物品的生成函数为\(\frac{1}{1 - x^2}\)，那么我们要求的就是\([x^k](\frac{1}{1-x})^n (\frac{1}{1-x^2})^m\)。

而\((\frac{1}{1-x})^n = (\frac{1}{1-x^2})^n \times (1 + x)^n\)，所以原生成函数等于\((\frac{1}{1 - x^2})^{n+m}(1+x)^n\)。

注意到后面一部分\((1+x)^n\)只有\(n+1\)项。我们枚举\((1+x)^n\)中\(x^i\)项对答案产生的贡献，那么我们需要求出\([x^i](1+x)^n\)和\([x^{k-i}](\frac{1}{1-x^2})^{n+m}\)。前者由二项式定理可得为\(\binom{n}{i}\)，后者可以发现相当于有\(n+m\)个容量为\(2\)、数量无限的物品，要从中取出\(\frac{k - i}{2}\)个物品的本质不同的方案数。这个问题是经典的插板模型，不难得到后者为\([2 \mid (k-i)] \binom{\frac{k-i}{2} + n + m - 1}{n + m - 1}\)。

那么我们需要求的就是\(\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}[2 \mid (k-i)] \binom{\frac{k-i}{2} + n + m - 1}{n + m - 1}\)。因为\(\frac{\binom{n}{i+1}}{\binom{n}{i}} = \frac{n-i}{i+1}\)，\(\frac{\binom{n}{i}}{\binom{n-1}{i}} = \frac{n}{n-i}\)，所以可以从小到大枚举\(i\)的过程中动态维护这两个组合数。

代码