P4389-付公主的背包【生成函数,多项式exp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4389

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题目大意

\(n\)种物品，第\(i\)种大小为\(v_i\)，数量无限。对于每个\(s\in[1,m]\)求刚好填满\(s\)容量的方案数。

\(1\leq n,m\leq 10^5\)

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解题思路

统计和为一定值的方案数，好像可以生成函数做？

每种物品大小\(v\)有一个生成函数

\[F(x)=\sum_{i\geq 0}x^{i\times v}=\frac{1}{1-x^v}
\]

然后所有生成函数乘起来就好了，但这样是\(O(n^2\log n)\)的比暴力还慢...

乘起来比较慢，如果\(ln\)之后改成加法就好了，但是\(ln\)也是\(O(n)\)的。不过我们的式子比较特殊，对于\(ln\)之后求个导就会有神器的结果

\[ln'(1-x^v)=\frac{(1-x^v)'}{1-x^v}=\frac{-v\times x^{v-1}}{1-x^v}
\]

\[=-v\sum_{i\geq 0}x^{v-1+v\times i}
\]

然后在积分回去就是

\[-\sum_{i\geq 0}\frac{x^{v+v\times i}}{i}=-\sum_{i\geq 1}\frac{x^{v\times i}}{i}
\]

然后记录每个大小的物品出现了多少次，之后\(O(m\log m)\)加系数，然后再\(exp+\)求逆回去就好了。

时间复杂度\(O(n+m\log m)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
ll n,c,l,r[N],f[N],v[N],inv[N];
ll t1[N],t2[N],t3[N],t4[N],t5[N],t6[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void Glen(ll m){
	n=1;while(n<=m)n<<=1;
	for(ll i=0;i<n;i++)
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(n>>1):0);
	return;
}
void NTT(ll *f,ll op){
	for(ll i=0;i<n;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
		ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
		for(ll k=0;k<n;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=f[i+len]*buf%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll inv=power(n,P-2);
		for(ll i=0;i<n;i++)
			f[i]=f[i]*inv%P;
	}
	return;
}
void GetInv(ll *f,ll *g,ll m){
	if(m==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}
	GetInv(f,g,m>>1);Glen(m);
	for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=f[i],t2[i]=g[i];
	NTT(t1,1);NTT(t2,1);
	for(ll i=0;i<n;i++)
		t1[i]=t1[i]*t2[i]%P*t2[i]%P;
	NTT(t1,-1);
	for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(g[i]*2-t1[i]+P)%P;
	for(ll i=0;i<n;i++)t1[i]=t2[i]=0;
	return;
}
void GetD(ll *f,ll *g,ll n){
	for(ll i=0;i<n-1;i++)
		g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;
	g[n-1]=0;return;
}
void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){
	for(ll i=n-1;i>0;i--)
		g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;
	g[0]=0;return;
}
void GetLn(ll *f,ll *g,ll m){
	Glen(m);GetD(f,t3,n);GetInv(f,t4,n);
	Glen(m);Glen(n);NTT(t3,1);NTT(t4,1);
	for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t3[i]*t4[i];
	NTT(t3,-1);GetJ(t3,g,n);
	for(ll i=0;i<n;i++)t3[i]=t4[i]=0;
	return;
}
void GetExp(ll *f,ll *g,ll m){
	if(m==1){g[0]=1;return;}
	GetExp(f,g,m>>1);GetLn(g,t5,m);Glen(m);
	for(ll i=0;i<m;i++)t6[i]=f[i];
	for(ll i=m;i<n;i++)t5[i]=0;
	NTT(t5,1);NTT(t6,1);NTT(g,1);
	for(ll i=0;i<n;i++)g[i]=g[i]*(1-t5[i]+t6[i]+P)%P;
	NTT(g,-1);for(ll i=m;i<n;i++)g[i]=0;
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&c,&l);inv[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++)
		inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;
	for(ll i=1;i<=c;i++){
		ll x;scanf("%lld",&x);
		v[x]++;
	}
	Glen(l);
	for(ll i=l;i>=1;i--){
		ll w=v[i];v[i]=0;
		for(ll j=i;j<n;j+=i)
			(v[j]+=w*(P-inv[j/i])%P)%=P;
	}
	ll p=n;GetExp(v,f,n);
	for(ll i=0;i<n;i++)v[i]=0;
	GetInv(f,v,n);
	for(ll i=1;i<=l;i++)
		printf("%lld\n",v[i]);
	return 0;
}