[CSP-S模拟测试]:platform（后缀数组+二分+线段树）

题目传送门

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题目描述

走过奈何桥有一个名叫望乡台的土台，望乡台有个名曰孟婆的老妇人在卖孟婆汤。一生爱恨情仇，一世浮沉得失，都可以随这碗孟婆汤遗忘得干干净净。
现在有$n$碗孟婆汤摆成一排，汤的品种不超过$26$种，因此我们用小写字母$a\sim z$来表示一种汤，每碗汤还有一个权值${val}_i$。
你需要选出若干碗连续摆放的汤喝下去，这些汤必须满足下列条件：
    $\alpha.$至少有一碗汤。
    $\beta.$这个子串（也就是那些汤）在原串中的所有子串中的字典序降序排名等于这一段汤的权值之和。
现在你需要知道有多少种选汤的方案。
注意出现在不同位置、本质相同的子串的排名是相同的且要重复计算方案数，如$"aaa"$这个串，排名为$1$的子串为$"aaa"$，出现了一次；排名为$2$的子串为$"aa"$，出现了两次；排名为$3$的子串为$"a"$，出现了三次。（若还没明白题意的可以看样例$1,3$的解释）。

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输入格式

第一行一个长度为$n$的由小写字母组成的字符串，每个字符代表一碗汤。
第二行$n$个非负整数，表示${val}_i$。

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输出格式

一行一个整数，表示能被选的子串个数$S$。
接下来$S$行每行两个整数$L,R$，分别表示每个可选子串的左端点与右端点，按照左端点升序为第一关键字，右端点升序为第二关键字排序。

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样例

样例输入1：

abcd
10 0 1 1

样例输出1：

3
1 1
3 4
4 4

样例输入2：

aaaa
1 1 1 1

样例输出2：

0

样例输入3：

aaa
1 1 1

样例输出3：

2
1 2
2 3

样例输入4：

abdacdbcecbd
1 3 1 3 3 4 2 2 4 2 1 1

样例输出4：

2
3 8
9 9

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数据范围与提示

样例$1$解释：

我们把所有的子串按字典序从大到小排名：$d,cd,c,bcd,bc,b,abcd,abc,ab,a$。
那么串$d$的排名为$1$（第一大），权值和为$1$，可以被选。
串$cd$的排名为$2$，权值和为$2$，可以被选。
串$a$的排名为$10$，权值和为$10$可以被选。
其他串则不满足这个条件，故有三个串可以被选。

样例$3$解释：

串$a$的排名是$3$，权值和都是$1$。
串$aa$的排名是$2$，权值和都是$2$，共有两个串$aa$，位置分别为$1\ 2$和$2\ 3$。
串$aaa$的排名是$1$，权值和都是$3$。

数据范围：

本题共有$10$测试点：

对于第$1$个测试点，满足$n\leqslant 50$。

对于第$2,3$个测试点，满足$n\leqslant 1,000$。

对于第$4$个测试点，满足字符串只由一种字符组成，$n\leqslant 50,000$。

对于第$5$个测试点，满足所有汤的权值相同，$n\leqslant 50,000$。

对于第$6,7$个测试点，满足$n\leqslant 50,000$。

对于第$8,9,10$个测试点，满足$n\leqslant 200,000$。

保证$0\leqslant {val}_i\leqslant 1,000$，且每个测试点满足要求的子串个数不超过$200,000$个。

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题解

$30\%$算法：

我们可以暴力统计所有的区间，然后暴力排序，利用前缀和优化$val$的统计，总之就是很暴力。

时间复杂度：$\Theta(n^2)$。

期望得分：$30$分。

实际得分：$10\sim 30$分。

$100\%$算法：

一般这种字符串又没有匹配的问题我们就来考虑后缀数组好啦。

还是先来偷偷的观察一下数据范围，发现${val}_i>0$，那么对于每一个左端点，如果把它的子串按排名单调下降排，那么权值和将是一个单调不下降的，也就是说，我们可以通过二分找到是否有交点，那么问题就转化问如何快速查找这个排名了。

在后缀数组中，一个串的本质不同的子串有$\sum \limits_{i=1}^n n-sa[i]-height[i]+1$个，为方便，设这个数组为$c$，对于每个左端点$l$，设它的一个子串的右端点为$r$，那么这个子串的排名即为$c[n]-c[x[sa[l]-1]-r+l+height[x[sa[l]]]$，然而这个式子仅适用于该子串不是与当前串的前一个排名的串的LCP的子串时成立。可能会有两个串相同怎么办？

利用线段树为何这个位置所在增加的$LCP$的第一个位置，然后通过这个位置计算出当前位置的排名即可。

然后我们还能发现，其实$LCP$部分的排名是单调下降的，这样我们可以在处理非$LCP$部分的时候一起二分。

还有一种做法，是在后缀数组上$RMQ+$二分，但是我不会。

时间复杂度：$\Theta(n\log^2n)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

$30\%$算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec
{
	int l,r,w;
}e[1000001];
int n;
int a[200001];
int val[200001];
char ch[200001];
int sum,cnt;
pair<int,int> que[200001];
void pre_work()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			e[++cnt].l=i;
			e[cnt].r=j;
			e[cnt].w=val[j]-val[i-1];
		}
}
bool cmp(rec x,rec y)
{
	for(int i=0;i<min(x.r-x.l+1,y.r-y.l+1);i++)
		if(a[x.l+i]!=a[y.l+i])return a[x.l+i]>a[y.l+i];
	return x.r-x.l>y.r-y.l;
}
bool judge(int x)
{
	unsigned long long hash1=0,hash2=0;
	for(int i=e[x].l;i<=e[x].r;i++)
		hash1=hash1*13131+a[i];
	for(int i=e[x-1].l;i<=e[x-1].r;i++)
		hash2=hash2*13131+a[i];
	if(hash1==hash2)return 0;
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%s",ch+1);
	n=strlen(ch+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&val[i]);
		a[i]=ch[i]-'a'+1;
		val[i]+=val[i-1];
	}
	pre_work();
	sort(e+1,e+cnt+1,cmp);
	int hsw=0;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		if(judge(i))hsw++;
		if(hsw==e[i].w)
			que[++sum]=make_pair(e[i].l,e[i].r);
	}
	sort(que+1,que+sum+1);
	cout<<sum<<endl;
	for(int i=1;i<=sum;i++)
		printf("%d %d\n",que[i].first,que[i].second);
	return 0;
}

$100\%$算法：

#include<bits/stdc++.h>
#define L(x) x<<1
#define R(x) x<<1|1
using namespace std;
int n;
int a[200001];
int val[200001];
char ch[200001];
int x[200001],y[200001],sa[200001];
long long c[200001],h[200001];
int tr[800001];
int hsw[200001];
pair<int,int> ans[200001];
int wzc;
void change(int x,int l,int r,int L,int R,int w)
{
	if(L>r||R<l)return;
	if(L<=l&&r<=R){tr[x]=w+1;return;};
	int mid=(l+r)>>1;
	if(tr[x])tr[L(x)]=tr[R(x)]=tr[x];
	change(L(x),l,mid,L,R,w);
	change(R(x),mid+1,r,L,R,w);
	tr[x]=tr[L(x)]==tr[R(x)]?tr[L(x)]:0;
}
int ask(int x,int l,int r,int w)
{
	if(tr[x])return tr[x]-1;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(tr[x])tr[L(x)]=tr[R(x)]=tr[x];(x,l,r);
	if(w<=mid)return ask(L(x),l,mid,w);
	else return ask(R(x),mid+1,r,w);
}
void get_sa()
{
	int m=30;
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=1;i<=n;i++)c[x[i]=a[i]]++;
	for(int i=1;i<=m;i++)c[i]+=c[i-1];
	for(int i=n;i;i--)sa[c[x[i]]--]=i;
	for(int len=1;len<=n;len<<=1)
	{
		int p=0;
		for(int i=n-len+1;i<=n;i++)y[++p]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++)if(sa[i]>len)y[++p]=sa[i]-len;
		memset(c,0,sizeof(c));
		for(int i=1;i<=n;i++)c[x[y[i]]]++;
		for(int i=1;i<=m;i++)c[i]+=c[i-1];
		for(int i=n;i;i--)sa[c[x[y[i]]]--]=y[i];
		for(int i=1;i<=n;i++)x[i]^=y[i]^=x[i]^=y[i];
		p=1;x[sa[1]]=1;
		for(int i=2;i<=n;i++)
			x[sa[i]]=y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+len]==y[sa[i-1]+len]?p:++p;
		if(p>=n)break;
		m=p;
	}
}
void get_height()
{
	int len=0;
	for(int i=1;i<=n;h[x[i++]]=len,len=len?len-1:0)
		if(x[i])while(a[i+len]==a[sa[x[i]-1]+len])len++;
}
long long get_ra(int l,int r)
{
	if(r-l+1>h[x[l]])return c[n]-c[x[l]-1]-r+l+h[x[l]];
	int flag=ask(1,1,n,r-l+1);
	return hsw[flag]+flag-r+l-1;
}
int main()
{
	scanf("%s",ch+1);
	n=strlen(ch+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&val[i]);
		a[i]=ch[i]-'a'+1;
		val[i]+=val[i-1];
	}
	get_sa();
	get_height();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		c[i]=c[i-1]+n-sa[i]-h[i]+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int lft=sa[i],rht=n;
		while(lft<=rht)
		{
			int mid=(lft+rht)>>1;
			if(val[mid]-val[sa[i]-1]<get_ra(sa[i],mid))lft=mid+1;
			else rht=mid-1;
		}
		if(val[lft]-val[sa[i]-1]==get_ra(sa[i],lft))ans[++wzc]=make_pair(sa[i],lft);
		if(h[i]<h[i+1])
		{
			hsw[h[i]+1]=get_ra(sa[i],sa[i]+h[i]);
			change(1,1,n,h[i]+1,h[i+1],h[i]+1);
		}
	}
	sort(ans+1,ans+wzc+1);
	printf("%d\n",wzc);
	for(int i=1;i<=wzc;i++)
		printf("%d %d\n",ans[i].first,ans[i].second);
	return 0;
}

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rp++