P5444 [APIO2019]奇怪装置

传送门

考虑求出最小的循环节 $G$ 使得 $t,t+G$ 得到的数对是一样的

由 $y \equiv t \mod B$ ，得到 $G$ 一定是 $B$ 的倍数，设 $zB=G$，则 $t,t+zB$ 结果相同

代入 $x \equiv (t+\left \lfloor \frac{t}{B} \right \rfloor) \mod A$

得到

$(t+zB+\left \lfloor \frac{t+zB}{B} \right \rfloor) \equiv (t+\left \lfloor \frac{t}{B} \right \rfloor) \mod A$

$(t+zB+z+\left \lfloor \frac{t}{B} \right \rfloor) \equiv (t+\left \lfloor \frac{t}{B} \right \rfloor) \mod A$

$(zB+z) \equiv 0 \mod A$

$z(B+1) \equiv 0 \mod A$

即 $z(B+1)$ 是 $A$ 的倍数

想得到最小的 $G$ 就要先求出最小的 $z$，考虑两边提出公因数 $\gcd(A,B+1)$

那么 $z(B+1)/\gcd(A,B+1) = kA/\gcd(A,B+1) $

此时因为 $(B+1)/\gcd(A,B+1)$ 已经和 $A/\gcd(A,B+1)$ 没有公因数了

那么 $z$ 一定得是 $A/\gcd(A,B+1)$ 的倍数，那么最小的 $z$ 就是当 $k=1$ 时， $z=A/\gcd(A,B+1)$

所以 $G=zB=AB/gcd(A,B+1)$

那么对于一个时间段 $l,r$ ，如果 $r-l+1>=G$ 则所有数都会被覆盖到，答案就是 $G$

否则把 $l,r$ 对 $G$ 取模，因为此时 $r-l+1<G$，所以取模后如果 $l<=r$ 则 $l,r$ 区间的数会被考虑到

如果 $l>r$ 则 $[0,r]$ 和 $[l,G-1]$ 的数会被覆盖到，直接离散化看看哪些区间被覆盖到就好了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll x=,f=; char ch=getchar();
    while(ch<''||ch>'') { if(ch=='-') f=-; ch=getchar(); }
    while(ch>=''&&ch<='') { x=(x<<)+(x<<)+(ch^); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=4e6+;
ll n,A,B,ans;
ll gcd(ll a,ll b) { return b ? gcd(b,a%b) : a; }
struct dat{
    ll pos,v;
    inline bool operator < (const dat &tmp) const {
        return pos!=tmp.pos ? pos<tmp.pos : v>tmp.v;
    }
}d[N];
ll tot;
int main()
{
    n=read(),A=read(),B=read();
    ll G=A/gcd(A,B+)*B,l,r;//注意先除后乘
    while(n--)
    {
        l=read(),r=read();
        if(r-l+>=G) { printf("%lld\n",G); return ; }
        l=l%G,r=r%G;
        if(l<=r) d[++tot]=(dat){l,},d[++tot]=(dat){r,-};
        else d[++tot]=(dat){,},d[++tot]=(dat){r,-},d[++tot]=(dat){l,},d[++tot]=(dat){G-,-};
    }
    sort(d+,d+tot+); int now=; ll pre;
    for(int i=;i<=tot;i++)
    {
        if(d[i].v&&!now) pre=d[i].pos;//如果覆盖开始则记录左端点
        now+=d[i].v;
        if(!now) ans+=d[i].pos-pre+;//覆盖结束统计答案
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}