【NOIP2016提高A组模拟9.15】Math

题目

分析

因为\((-1)^2=1\)，

所以我们只用看\(\sum_{j=1}^md(i·j)\)的值模2的值就可以了。

易证，一个数x，只有当x是完全平方数时，d(x)才为奇数，否则为偶数。

那么设\(i=p*q^2\)，p不包含任何平方因子，

要使\(i·j\)为完全平方数，则\(j=p*k^2\),

因为\(j<=m\)

所以j就有\(\sqrt{\dfrac{m}{p}}\)。

因此我们可以求出每个i对应的p来算出答案。

但对于每个i都求出p的话，时间复杂度为\(O(n\sqrt{n})\)

发现\(i=p*q^2\)，当p固定时，q有很多种方案，

而\(\sqrt{\dfrac{m}{p}}\)也是固定的，

那么如果有一个i，p=i，那么

把这直接把所以是这个p的情况全部加入答案，

跳过并且这些所有的\(这个p*q^2\)。

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const int maxlongint=2147483647;
const int mo=1000000007;
const int N=10000005;
using namespace std;
long long zs[300000],n,m,ans;
bool bz[N];
int main()
{
	memset(bz,true,sizeof(bz));
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(long long i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!bz[i])
			continue;
		long long q=sqrt(n/i);
		long long k=sqrt(m/i);
		if(k%2)
			ans-=q;
		else
			ans+=q;
		for(int j=1;j<=q;j++)
			bz[i*j*j]=false;
	}
	printf("%lld",ans);
}