【bzoj 4318】OSU!

题意

　　一个长度为 $n$ 的字符串，第 $i$ 位有 $p_i$ 的概率是 $1$，否则是 $0$。一个字符串的分数定义为：对于字符串中每一个极长的连续一段 $1$，设这段 $1$ 的长度为 $x$，则分数累加 $x^3$。

　　求字符串的期望分数。

题解

　　考虑分数累加 $x$ 而不是 $x^3$ 时怎么做。

　　设 $f_{i,j}$ 表示分数累加 $x$ 的 $j$ 次方时，第 $1$ 到 $i$ 位的期望分数。

　　则 $f_{i,1}$ 的转移显然为 $f_{i,1} = (1-p_i)\times f_{i-1,1} + p_i\times (f_{i-1,1}+1)$。

　　就是分两种情况：放 $0$，结束前面连续的一段 $1$（前面连续的一段 $1$ 的长度可能是 $0$）；放 $1$，延长前面连续的一段 $1$（前面可能是 $0$，那就是新起一段 $1$）。

　　我们在转移 $f_{i,3}$ 时再考虑断的情况，所以把放 $1$ 的转移提出来。设 $g_{i,j}=p_i\times (g_{i-1,j}+1)$，显然这是分数累加 $x$ 的 $j$ 次方的情况，而 $x$ 是当前连续段的长度，所以这也是当前连续的一段 $1$ 的期望长度的 $j$ 次方。

　　之后我们只会用到放 $1$ 的情况，即 $g_{i,1}$。

　

　　然后考虑 $f_{i,2}$，我们发现 $f_{i,2} = f_{i-1,2}\times (1-p_i) + (f_{i-1,2}+?)\times p_i$

　　$?$ 就是成功连接所增加的分数，这里显然不是 $1$，我们考虑怎么表示它。

　　设当前连续的一段 $1$ 的长度为 $len$，不难发现 $(len+1)^2 = len^2+2len+1$，即连续一段 $1$ 的长度从 $len$ 变为 $len+1$ 时，分数会加 $2len+1$。

　　所以 $f_{i,2} = f_{i-1,2}\times (1-p_i) + (f_{i-1,2}+2len+1)\times p_i$。

　　而 $len$ 的期望值为 $g_{i,1}$，所以 $f_{i,2} = f_{i-1,2}\times (1-p_i) + (f_{i-1,2}+2g_{i,1}+1)\times p_i$。

　　与一次方同理，之后我们只会用到放 $1$ 的情况，即 $g_{i,2}$。

　　最后考虑 $f_{i,3}$，类似 $f_{i,2}$，$f_{i,3} = f_{i-1,3}\times (1-p_i) + (f_{i-1,3}+?)\times p_i$。

　　显然 $(len+1)^3 = len^3  + 3len^2 + 3len + 1$，即延长一位 $1$ 会增加 $3len^2 + 3len + 1$ 的分数。

　　而 $len$ 的期望值为 $g_{i,1}$，$len^2$ 的期望值为 $g_{i,2}$。

　　所以 $f_{i,3} = f_{i-1,3}\times (1-p_i) + (f_{i-1,3}+3g_{i,2}+3g_{i,1}+1)\times p_i = f_{i-1,3} + (3g_{i,2}+3g_{i,1}+1)\times p_i$。

　　$O(n)$ 递推即可。

　　哇好神仙啊，没有脑子的我对着式子瞪了一小时才突然明白那群人的式子是怎么得的