$BZOJ$2818 $gcd$ 莫比乌斯反演/欧拉函数

正解:莫比乌斯反演/欧拉函数

解题报告:

传送门$QwQ$

一步非常显然的变形,原式=$\sum_{d=1,d\in prim}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]$

后面那个就莫比乌斯反演入门题辣$QwQ$?

就变成$\sum_{p=1}^{n}[p\mbox{为质数}]\sum_{d=1}^{n/p}\mu(d)\lfloor \frac {n/p}{d}\rfloor^2$

十分套路的,后面显然可以数论分块,就变成了$\sum_{p=1}^{n}[p\mbox{为质数}] cal(\lfloor\frac{n}{p}\rfloor)$

于是前面就也能数论分块?考虑再前缀和一个质数个数.然后把前面也数论分块.

也就做两次数论分块,然后复杂度是$O(n)$的$QwQ$

$over$!

然后另一个方法其实$easy$蛮多$QwQ$

你考虑到化出的第一个式子去,显然能想到变形成$\sum_{d=1,d\in prim}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[gcd(i,j)==1]$

看到后面这个,联想到欧拉函数,发现$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[gcd(i,j)==1]$的答案其实也就$\lfloor\frac{n}{d}\rfloor$内的欧拉函数前缀和乘二减一?(乘二是因为交换顺序嘛,减一是因为算重了$(1,1)$这一对嘛$QwQ$

就$easy$些$QwQ$

代码可以去看加强版