最短路径算法----Dijkstra （转）

Dijkstra算法的核心思想是贪心策略+动态规划

算法流程：

在以下说明中，s为源，w[u,v]为点u和v之间的边的长度，结果保存在dis[]

初始化：源的距离dis[s]设为0，其他的点距离设为无穷大(实际程序里设成-1了)，同时把所有的点的状态设为没有扩展过。

循环n-1次：

1. 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
2. 对于每个与u相邻的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，如果dis[u]+map[u,v]<dis[v]，那么把dis[v]更新成更短的距离dis[u]+w[u,v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。
3. 结束。此时对于任意的u，dis[u]就是s到u的距离。

wiki上有个很好的图，可以帮助理解算法过程：

测试数据来自清华的紫皮算法书，如下：

迭代过程如下：

迭代	S	U	dis[2]	dis[3]	dis[4]	dis[5]
初始	{1}	---	10	-1	30	100
1	{1,2}	2	10	60	30	100
2	{1,2,4}	4	10	50	30	90
3	{1,2,4,3}	3	10	50	30	60
4	{1,2,4,3,5}	5	10	50	30	60

看上面的两个图，基本就能把Dijkstra算法的具体过程了解清楚。

算法正确性证明可以看Wiki和CLRS。

程序如下（测试数据就是上面的，输出了6个结果）：

int dijk(int s, int e);函数返回从s到e的最短路。

 1 #include <stdio.h>
 2  #include <limits.h>
 3  #include <string.h>
 4
 5  const int n = 6;
 6  int map[n][n];
 7
 8  int dijk(int s, int e)
 9  {
10      int dis[n];
11      int used[n] = {0};
12      int min, next;
13      memset(dis, 255, sizeof(dis));//把所有未更新的dis[]设置成-1
14
15      dis[s] = 0;                    //从s开始
16
17      for (int i=1; i<n; ++i)
18      {
19          min = INT_MAX;
20          for (int j=1; j<n; ++j)
21          {
22              if (!used[j] && dis[j]!=-1 && dis[j]<min)
23              {
24                  min = dis[j];
25                  next = j;
26              }
27          }
28          if (min != INT_MAX)
29          {
30              used[next] = 1;
31              for (int j=1; j<n; ++j)
32              {
33                  if (!used[j] && map[next][j]!=-1 &&
34                          (dis[j]>map[next][j]+dis[next] || dis[j]==-1))
35                  {
36                      dis[j] = map[next][j] + dis[next];
37                  }
38              }
39          }
40      }
41      return dis[e];
42  }
43
44
45  int main()
46  {
47      for (int i=1; i<n; ++i)
48      {
49          for (int j=1; j<n; ++j)
50          {
51              map[i][j] = -1;
52          }
53      }
54
55      map[1][2] = 10;
56      map[1][4] = 30;
57      map[1][5] = 100;
58      map[2][3] = 50;
59      map[3][5] = 10;
60      map[4][3] = 20;
61      map[4][5] = 60;
62  　　
63      printf("%d %d %d %d %d %d\n", dijk(1, 5), dijk(2, 3), dijk(1, 5), dijk(4, 5), dijk(1, 2), dijk(2, 4));
64
65
66      return 0;
67  }

  1 /*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/
  2
  3 #include <iostream>
  4 #include<stack>
  5 #define M 100
  6 #define N 100
  7 usingnamespace std;
  8
  9 typedef struct node
 10 {
 11     int matrix[N][M];      //邻接矩阵
 12 int n;                 //顶点数
 13 int e;                 //边数
 14 }MGraph;
 15
 16 void DijkstraPath(MGraph g,int*dist,int*path,int v0)   //v0表示源顶点
 17 {
 18     int i,j,k;
 19     bool*visited=(bool*)malloc(sizeof(bool)*g.n);
 20     for(i=0;i<g.n;i++)     //初始化
 21      {
 22         if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
 23         {
 24             dist[i]=g.matrix[v0][i];
 25             path[i]=v0;     //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
 26          }
 27         else
 28         {
 29             dist[i]=INT_MAX;    //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大
 30             path[i]=-1;
 31         }
 32         visited[i]=false;
 33         path[v0]=v0;
 34         dist[v0]=0;
 35     }
 36     visited[v0]=true;
 37     for(i=1;i<g.n;i++)     //循环扩展n-1次
 38      {
 39         int min=INT_MAX;
 40         int u;
 41         for(j=0;j<g.n;j++)    //寻找未被扩展的权值最小的顶点
 42          {
 43             if(visited[j]==false&&dist[j]<min)
 44             {
 45                 min=dist[j];
 46                 u=j;
 47             }
 48         }
 49         visited[u]=true;
 50         for(k=0;k<g.n;k++)   //更新dist数组的值和路径的值
 51          {
 52             if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k])
 53             {
 54                 dist[k]=min+g.matrix[u][k];
 55                 path[k]=u;
 56             }
 57         }
 58     }
 59 }
 60
 61 void showPath(int*path,int v,int v0)   //打印最短路径上的各个顶点
 62 {
 63     stack<int> s;
 64     int u=v;
 65     while(v!=v0)
 66     {
 67         s.push(v);
 68         v=path[v];
 69     }
 70     s.push(v);
 71     while(!s.empty())
 72     {
 73         cout<<s.top()<<"";
 74         s.pop();
 75     }
 76 }
 77
 78 int main(int argc, char*argv[])
 79 {
 80     int n,e;     //表示输入的顶点数和边数
 81 while(cin>>e>>n&&e!=0)
 82     {
 83         int i,j;
 84         int s,t,w;      //表示存在一条边s->t,q权值为w
 85         MGraph g;
 86         int v0;
 87         int*dist=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
 88         int*path=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
 89         for(i=0;i<N;i++)
 90             for(j=0;j<M;j++)
 91                 g.matrix[i][j]=0;
 92         g.n=n;
 93         g.e=e;
 94         for(i=0;i<e;i++)
 95         {
 96             cin>>s>>t>>w;
 97             g.matrix[s][t]=w;
 98         }
 99         cin>>v0;        //输入源顶点
100          DijkstraPath(g,dist,path,v0);
101         for(i=0;i<n;i++)
102         {
103             if(i!=v0)
104             {
105                 showPath(path,i,v0);
106                 cout<<dist[i]<<endl;
107             }
108         }
109     }
110     return0;
111 }

参考资料:

Wikipedia：http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm

Nocow：http://www.nocow.cn/index.php/Dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95

CLRS

《算法设计与分析》

（转）http://www.cnblogs.com/rootjie/archive/2012/05/15/2501317.html