全局最小割StoerWagner算法详解

前言

StoerWagner算法是一个找出无向图全局最小割的算法，本文需要读者有一定的图论基础。

本文大部分内容与词汇来自参考文献（英文，需科学上网），用兴趣的可以去读一下文献。

概念

无向图的割：有无向图$G=(V,E)$，设$C$为图$G$中一些弧的集合，若从$G$中删去$C$中的所有弧能使图$G$不是连通图，称$C$图$G$的一个割。
$S-T$割：使得顶点$S$与顶点$T$不再连通的割，称为$S-T$割
$S-T$最小割：包含的弧的权和最小的$S-T$割，称为$S-T$最小割。
全局最小割：包含的弧的权和最小的割，称为全局最小割。
诱导割(induced cut)：令图$G=(V, E)$的一个割为$C$，则割$C$在图$G$的子图$G'=(V',E')$中的部分称为割$C$的诱导割。（类似于概念诱导子图(induced subgraph)）

算法流程

大致流程

step1：在图$G$中找出任意$s-t$最小割cut-of-the-phase

step2：合并$s$、$t$，重复执行step1直到图G只剩下一个顶点

step3：输出最小的cut-of-the-phase为最终结果

伪代码：

def MinimumCutPhase(G, w, a):

    A ← {a}

    while A ≠ V:

        把与A联系最紧密（most tightly）的顶点加入A中

    cut-of-the-phase ← w(A \ t, t)

    合并最后两个加入到A的顶点s、t

    return cut-of-the-phase

def StoerWagner(G, w, a):

    while |V| > 1

        MinimumCutPhase(G, w, a)

        根据返回值更新最小割

其中：

$w$为边权函数，$w(e)$为边$e$的权值大小
$w(A, v)$为顶点$v$到集合$A$的所有边权和
$x$与$A$联系最紧密（most tightly）当且仅当$x \notin A$且$w(A,x) = max\{w(A, y) | y \notin A\}$
$a$可以取任意顶点作为算法的初始顶点

证明

首先，算法基于这样一个事实：

两个顶点s、t，要么在全局最小割的同一个集合中，要么在不同的集合中

那么结果便只可能在是$s-t$最小割，或者合并$s$、$t$的新图的全局最小割。

然后问题就在于如何寻找任意的$s-t$最小割。现在来证明MinimumCutPhase找出来的$s-t$割cut-of-the-phase为什么是最小的。

定理：每个阶段割(cut-of-the-phase)是当前图的$s-t$最小割，$s$、$t$是当前阶段最后加入的结点。

证明：

以加入集合$A$的顺序组成一个序列，以$a$为开始，以$s$、$t$结束。然后来证明对于任意$s-t$割$C$均不小于阶段割(cut-of-the-phase)

我们称结点$v$($v \neq a$)是活跃的(active)当$v$和$v$的前一个结点分立于C的两边。令$w(C)$为割C的大小，$A_v$为所有在$v$前面的顶点（不包括$v$），$C_v$为$A_v \bigcup \{v\}$的$C$割，$w(C_v)$为诱导割$C_v$的大小。

那么，对于所有活跃的顶点v，有

\[w(A_v,v) \leq w(C_v) \cdots \cdots (1)
\]

归纳证明:

对于第一个活跃顶点$v_0$，该不等式以等号成立。这是由于$v_0$前面的点都非活跃点，那么它们都在割C的同一侧，另一侧为$v_0$，显然有$w(A_{v_0},v_0) = w(C_{v_0})$。

假设对于活跃顶点$v$，$v$满足不等式。令$u$为$v$的下一个活跃顶点，那么我们令：

\[w(A_u,u)=w(A_v,u)+w(A_u \setminus A_v,u)=:\alpha
\]

由于$v$加入$A$比$u$早，所以有$w(A_v,u) \leq w(A_v,v)$。又因$v$满足不等式，所以有

\[w(A_v,u) \leq w(A_v,v) \leq w(C_v)
\]

由于所有 $A_u \setminus A_v$ 与$u$之间的边均跨过割$C_u$，且不是$C_v$的一部分，于是有

\[w(C_v)+w(A_u \setminus A_v,u) \leq w(C_u)
\]

联立上式，得到：

\[\alpha \leq w(C_v)+w(A_u \setminus A_v,u) \leq w(C_u)
\]

于是对于任意活跃顶点，均满足不等式$(1)$。

由于$t$总是活跃顶点（$s-t$割导致$s$与$t$总被割开），则$t$总是满足不等式$w(A_t,t) \leq
w(C_t)$，即任意割小于等于$w(A_t,t)$。又因为$w(A_t,t)$为单独割掉顶点$t$的大小（链接$t$的所有边权和），所以有$w(A_t,t)$为$s-t$最小割。证得MinimumCutPhase找出来的$s-t$割是$s-t$最小割。

例题

HDU 3691 Nubulsa Expo（全局最小割Stoer-Wagner算法）

HDU 6081 度度熊的王国战略（全局最小割Stoer-Wagner算法）

参考文献

stoerwagner-mincut.[Stoer-Wagner,Prim,连通性,无向图,最小边割集]