CF1793E题解

\(\text{Problem - 1793E - Codeforces}\) \(\text{*2600}\)

备注

2024.10.19 考试 T2。考场未能想出正解，找到性质但没有根据性质往 dp 方面想，而是想通过多枚举状态找最优解，需要反思！

简要题意

有一个数列 \(A\)，我们需要将其分成若干组。对于一个 \(i\)，若 \(i\) 所在的分组中元素个数大于等于 \(a_i\) 则有贡献，给出 \(q\) 次询问，求分成 \(x\) 组时最大贡献。

数据范围：\(2\le n,q\le3\times10^5,1\le a_i,x\le n\)。

题解

首先观察题目我们可以得出以下性质：

1. 我们将 \(A\) 按 \(a_i\) 排序，选前面的一段满足条件肯定比后面的更优；（显然）
2. 我们分组时将相邻的一段一起选一定不劣；

所以我们每次需要做的事其实就是选择一段前缀让它满足条件。

我们先设 \(\operatorname{ans}_i\) 表示分成 \(i\) 组的最大贡献，但是想直接转移肯定不现实，经过尝试我们只能发现： \(\operatorname{ans}_i\) 具有单调性。

这时我们需要另外引入几个辅助函数，我们设 \(f_i\) 表示钦定第 \(i\) 个数对答案有贡献时最多能分多少组，因为对于 \(i\)，我们需要将第 \(i-a_i+1\) 到第 \(i\) 个数分成一组，所以转移方程为：\(f_i=f_{i-a_i}+1\)，但是若 \(a_i>i\)，\(f_i\) 就无意义，这里需要注意。若 \(f_i\) 有意义，那么当前分的组数就为 \(f_i+n-i\) 组；否则组数为 \(n-a_i+1\)。

然后就能够求出第 \(i\) 个有贡献时的答案，然后根据 \(\operatorname{ans}_i\) 单调性可以直接后缀取最大值，时间复杂度瓶颈在于排序，是 \(O(n\log n)\) 的，但是有人用桶排序 \(O(n)\) 更优。

代码

signed main(){
	freopen("xcpc.in", "r", stdin);
	freopen("xcpc.out", "w", stdout);
	n = rd(), q = rd();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)a[i] = rd();
	sort(a + 1, a + 1 + n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		if(a[i] <= i)f[i] = f[i - a[i]] + 1, g = f[i] + n - i;
		else f[i] = 0, g = n - a[i] + 1;
		f[i] = max(f[i], f[i - 1]);
		ans[g] = i;
	}
	for(int i = n; i; --i)ans[i] = max(ans[i], ans[i + 1]);
	for(int i = 1; i <= q; ++i){
		int x = rd();
		printf("%d ", ans[x]);
	}
	return 0;
}