《算法导论》笔记--归并排序 & 算法原理

归并排序

算法原理：

现在还是沿用牌堆的比喻：

一共两个操作：

1.分解：

现在我们将牌分为两堆，对其中的每一堆都进行 '分为两堆' 这个操作，直到单个堆的元素只有一个

此时每个牌堆都是有序的

2.合并

我们对每两个临近的牌堆（记为A、B）进行：

当前每个牌堆仅一张牌，我们比较A和B的大小，将其中较小的一张牌放在另一张的上面

以此类推，对34、56、78...号牌堆进行这个操作

这样，我们获得了若干个单个都有序的牌堆

接下来，我们继续取临近的两个牌堆（记为A、B），进行：

取出两堆顶上的一张，比较大小，将其中较小的放入手中，重复这个操作（如果此时手中有牌，那么放于上一张的下面），直到至少一堆已空

那么这时，一共会有3种情况：

1.两堆均空

2.A空

3.B空

对于1，我们继续合并34、56、78...号牌堆，重复这个操作

对于2、3，显然，此时剩余的所有元素一定比单独的这一堆中最大的都大，读者可以自己尝试证明一下（提示：反证法）

那么我们可以将剩余的所有元素都直接按序排在单独这一堆后

（严格证明见下文）

我们继续重复合并操作，直到只剩一堆，那么此时的牌堆就是有序的，排序完成

具体算法实现

我们规定，a为待排序数组，共有n个元素(0 to n-1)

l为目前区间的左端点，r为右端点，mid为中间点

其中mid = l+(r-l)/2 (至于为什么这么做，而不是简单的(l+r)/2,请看下文)

开始时，\(l = 0，r = n-1，mid = l+(r-l)/2\)

我们执行两个操作：

1.分解：令a分为[l,mid]、[mid+1,r]两段，对子段继续按此分解，直到l=r（即单一元素）

2.合并：

我们每次合并[l,mid]、[mid+1,r]两段，保证每段内部都是有序的

也就是说，我们需要一个合并函数，类似：merge(a,l,r,mid)

将[l,mid]记为L，[mid+1,r]记为R，再定义一个辅助数组tmp，用来保存合并完的数组，之后拷贝到数组a

令k为当前tmp的下标，开始时k=0

令i,j为当前L、R的下标，开始时为0

然后：如果L[i]>=R[j]，那么tmp[k] = L[i],i--;

否则tmp[k] = R[j],j--；

重复直到至少其中一堆的top < 0（即堆中没有任何数）；

随后，我们将剩余的所有元素拷贝至tmp的末尾

等到合并完的区间就等于a时，算法结束， a数组有序；

循环不变式证明

P.S. 这里的证明方式更通俗，《算法导论》给出了另外一种证明

由于分解这一步仅仅相当于分解问题为多个子问题，因此，我们不对这个阶段证明循环不变式

那么，我们列出合并阶段的循环不变式：

记住：在过程中，我们力图维护的，就是其循环不变式

那么，我们其实一直在维护的是tmp数组的有序性

所以，循环不变式为：

tmp[0..k]始终保存L[0..i]、R[0..j]中前k小的数

前提条件：子序列LR均有序

我们开始证明：

1.初始化：此时tmp中什么也没有，因此符合循环不变式

2.保持：在算法过程中，我们有两个阶段：

一、在两个子序列均非空时，我们每次取L[i]、R[j]中较小的那一个
二、在至少一个为空时，我们将剩余的所有元素直接移动到tmp末尾

我们挨个证明，
一、若取了\(L[i]、R[j]\)中较小的那一个导致tmp无序，那么说明有一个数\(M>min(L[i]、R[j])\)且在tmp中，而M一定来自L、R其中一个数组；

若M来自于\(min(L[i]、R[j])\)所在的数组，那么说明此数组无序，于前提不符，所以不存在这样的M，即tmp有序；

若M来自于\(max(L[i]、R[j])\)所在的数组，那么说明，在选择M的那一轮循环中，M为较小的，因此另一堆剩余的所有元素一定都大于M，M这一堆剩余的所有元素也一定都大于M

所以之后不会存在一个比M小的数\(min(L[i]、R[j])\)了，与前提不符，所以不存在这样的M；
二、若这个操作导致tmp无序，那么在剩余这一堆中一定存在一个数Q，使得\(Q<tmp[k]\)，那么，tmp[k]只可能来自L、R

如果和Q同堆，那么由于\(Q<tmp[k]\)，说明此堆无序，所以不存在Q
若不同堆，那么说明这一堆剩余所有元素均大于tmp[k]，则剩余的堆应该是这一堆，与假设不符；

\(Q.E.D\)

形式化的循环不变式证明：

形式化定义：

设 \(L[1..m]\) 和 \(R[1..p]\) 为有序数组，合并时不变式：

\(temp[1..k]\) 包含 \(L[1..i]\) 和 \(R[1..j]\) 中前 \(k\) 小元素且有序

数学归纳证明：

初始化：\(k=0, i=1, j=1\)，空数组满足条件

保持：

若 \(L[i] \leq R[j]\)，则 \(L[i]\) 是剩余元素最小者

由归纳假设 \(temp[1..k]\) 有序，追加 \(L[i]\) 仍有序

终止：\(i>m\) 或 \(j>p\) 时，剩余元素直接追加仍有序

为什么是mid = l+(r-l)/2

我们先尝试展开：

\(mid = l+(r-l)/2 = l+0.5r-0.5l = 0.5r+0.5l = 1/2(r+l)\);

与直接\(mid = (l+r)/2\)本质上是一致的

那么为什么还要变形呢

想这样一个问题：倘若r、l均取int类型的最大值的一半+1，\(mid = (l+r)/2\)会发生什么呢

显然，\(l+r\)超过了int类型的最大值，会导致溢出

综上，我们选择\(mid = l+(r-l)/2\)；

Upt 2025.8.6

GhostSilver