[BZOJ1494][NOI2007]生成树计数 状压dp 并查集

1494: [NOI2007]生成树计数

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Description

最近，小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展，他发现：

·n个结点的环的生成树个数为n。

·n个结点的完全图的生成树个数为n^(n-2)。这两个发现让小栋欣喜若狂，由此更加坚定了他继续计算生成树个数的

想法，他要计算出各种各样图的生成树数目。一天，小栋和同学聚会，大家围坐在一张大圆桌周围。小栋看了看，

马上想到了生成树问题。如果把每个同学看成一个结点，邻座（结点间距离为1）的同学间连一条边，就变成了一

个环。可是，小栋对环的计数已经十分娴熟且不再感兴趣。于是，小栋又把图变了一下：不仅把邻座的同学之间连

一条边，还把相隔一个座位（结点间距离为2）的同学之间也连一条边，将结点间有边直接相连的这两种情况统称

为有边相连，如图1所示。

小栋以前没有计算过这类图的生成树个数，但是，他想起了老师讲过的计算任意图的生成树个数的一种通用方法：

构造一个n×n的矩阵A={aij},其中

其中di表示结点i的度数。与图1相应的A矩阵如下所示。为了计算图1所对应的生成数的个数，只要去掉矩阵A的最

后一行和最后一列，得到一个(n-1)×(n-1)的矩阵B，计算出矩阵B的行列式的值便可得到图1的生成树的个数所以

生成树的个数为|B|=3528。小栋发现利用通用方法，因计算过于复杂而很难算出来，而且用其他方法也难以找到更

简便的公式进行计算。于是，他将图做了简化，从一个地方将圆桌断开，这样所有的同学形成了一条链，连接距离

为1和距离为2的点。例如八个点的情形如下：

 

 

这样生成树的总数就减少了很多。小栋不停的思考，一直到聚会结束，终于找到了一种快捷的方法计算出这个图的

生成树个数。可是，如果把距离为3的点也连起来，小栋就不知道如何快捷计算了。现在，请你帮助小栋计算这类

图的生成树的数目。

 

Input

包含两个整数k,n，由一个空格分隔。k表示要将所有距离不超过k（含k）的结点连接起来，n表示有n个结点。

Output

输出一个整数，表示生成树的个数。由于答案可能比较大，所以你 只要输出答案除65521 的余数即可。

Sample Input

3 5

Sample Output

75

HINT

 

Source

 

观察到k很小，n很大。

考虑状压dp，矩阵快速幂优化。

但是我们需要对状态进行离散化，还需有一些小技巧，可以看程序。

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #define maxn 150
 #define mod 65521
 using namespace std;
 int size[]={,,,,,};
 long long n,k;int cnt;
 struct data {
     long long mat[maxn+][maxn+];
     data() {memset(mat,,sizeof(mat));}
     data operator *(const data t1) {
         data tp;
         for(int i=;i<=cnt;i++)
             for(int j=;j<=cnt;j++)
                 for(int k=;k<=cnt;k++) tp.mat[i][j]+=mat[i][k]*t1.mat[k][j],tp.mat[i][j]%=mod;
         return tp;
     }
 }A,B;
 int hash[],sta[];
 int fa[];
 int find(int x){return fa[x]==x?fa[x]:fa[x]=find(fa[x]);}
 void prepare(int pos,int now,int ma) {
     if(pos==k+) {
         hash[now]=cnt++;
         sta[cnt-]=now;
         return;
     }
     for(int i=;i<=ma;i++) prepare(pos+,now+(i<<(*(pos-))),ma+(i==ma));
 }
 int get() {
     int h[];
     memset(h,-,sizeof(h));
     int re=;
     int cc=;
     for(int i=;i<=k+;i++) {
         if(h[find(i)]==-) h[find(i)]=++cc;
     }
     for(int i=;i<=k+;i++) {
         int now=h[find(i)];
         re+=(now<<(*(i-)));
     }
     return hash[re];
 }
 void build(int x,int add) {
     int now=sta[x];
     for(int i=;i<=k+;i++) fa[i]=i;
     for(int i=;i<=k;i++) {
         for(int j=i+;j<=k;j++) {
             if(((now>>((i-)*))&)==((now>>((j-)*))&)) {
                 int f1=find(i),f2=find(j);
                 if(f1!=f2) fa[f1]=f2;
             }
         }
     }
     for(int i=;i<=k;i++) {
         if(add&(<<(i-))) {
             int f1=find(i),f2=find(k+);
             if(f1==f2) return;
             fa[f1]=f2;
         }
     }
     bool flag=;
     for(int i=;i<=k+;i++) {
         if(find()==find(i)) {flag=;break;}
     }
     if(!flag) return;
     A.mat[get()][x]++;
 }
 data pow(data x,long long p) {
     data ans;
     for(int i=;i<=maxn;i++) ans.mat[i][i]=;
     while(p) {
         if(p&) ans=ans*x;
         x=x*x;
         p>>=;

     }
     return ans;
 }
 int main() {
     for(int i=;i<=maxn;i++) B.mat[i][]=;
     scanf("%lld%lld",&k,&n);
     prepare(,,);
     for(int i=;i<cnt;i++)
         for(int j=;j<(<<k);j++) build(i,j);
     /*for(int i=0;i<cnt;i++) {
         for(int j=0;j<=k;j++) cout<<A.mat[i][j]<<' ';
         cout<<endl;
     }*/
     for(int i=;i<cnt;i++) {
         int now=sta[i];
         int tmp[]={};
         for(int j=;j<=k;j++) tmp[now>>((j-)*)&]++;
         for(int j=;j<=k;j++) B.mat[i][]*=size[tmp[j]];
     }

     A=pow(A,n-k);
     A=A*B;
     printf("%lld",A.mat[][]%mod);
 }