题意

求\(\gcd(a, b)\),其中\(a,b\leq10^{10000}\)

题解

使用\(\text{Stein}\)算法,其原理是不断筛除因子\(2\)然后使用更相减损法

如果不筛\(2\)因子的话复杂度是线性的,比如\(a=1,b=10^{10000}\)

再证明下更相减损术,即\(\gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\):

假设\(d=\gcd(a,b)\),则\(a=pd,b=qd\)

根据定义可知\(\gcd(p,q)=1\)

因此\(px+qy=1\)存在解\(x,y\)

此时\(a-b=pd-q-d=(p-q)d,b=qd\)

\((p-q)x+q(x+y)=px+qy=1\)

得到\(\gcd(p-q,q)=1\),根据定义得到\(d=\gcd(a-b,b)\)

注意一下高精要压位,不然常数巨大

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
using namespace std; const int base = 1e9;
const int N = 1e4 + 10; struct Int {
int len, n[N / 9 + 10];
Int() {}
Int(char * s) {
int x = strlen(s);
len = x / 9 + (x % 9 ? 1 : 0);
int p = x - 1;
for(int i = 1; i <= len; i ++) {
n[i] = 0;
for(int j = min(p, 8); j >= 0; j --)
n[i] = n[i] * 10 + (s[p - j] & 15);
p -= 9;
}
}
bool zero() { return len == 1 && n[1] == 0; }
bool judge() { return !zero() && 0 == (n[1] & 1); }
bool operator < (const Int &b) const {
if(len != b.len) return len < b.len;
for(int i = len; i >= 1; i --)
if(n[i] != b.n[i]) return n[i] < b.n[i];
return 0;
}
bool operator -= (const Int &b) {
for(int i = 1; i <= len; i ++) {
if(i <= b.len) {
n[i] -= b.n[i];
if(n[i] < 0) n[i + 1] --, n[i] += base;
}
}
for(; !n[len] && len > 1; len --);
return zero();
}
void div2() {
for(int i = 1; i <= len; i ++) {
if(n[i] & 1) n[i - 1] += base >> 1;
n[i] >>= 1;
}
for(; !n[len] && len > 1; len --);
}
void operator <<= (const int &x) {
for(int t = 1; t <= x; t ++) {
n[len + 1] = 0;
for(int i = len; i >= 1; i --) {
n[i] <<= 1; n[i + 1] += n[i] / base; n[i] %= base;
}
if(n[len + 1]) len ++;
}
this -> print();
}
void print() {
for(int i = len; i >= 1; i --)
if(i == len) printf("%d", n[i]);
else printf("%09d", n[i]);
printf("\n");
}
} x, y; int main() {
static char A[N], B[N];
scanf("%s %s", A, B);
x = Int(A), y = Int(B);
if(x.zero()) return y.print(), 0;
if(y.zero()) return x.print(), 0;
int i = 0, j = 0;
for(; x.judge(); i ++) x.div2();
for(; y.judge(); j ++) y.div2();
while(1) {
if(!(x < y)) {
if(x -= y) return y <<= min(i, j), 0;
while(x.judge()) x.div2();
} else {
if(y -= x) return x <<= min(i, j), 0;
while(y.judge()) y.div2();
}
}
return 0;
}

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