[USACO] 2004 Open MooFest 奶牛集会

题目背景

MooFest, 2004 Open

题目描述

约翰的N 头奶牛每年都会参加“哞哞大会”。哞哞大会是奶牛界的盛事。集会上的活动很

多，比如堆干草，跨栅栏，摸牛仔的屁股等等。它们参加活动时会聚在一起，第i 头奶牛的坐标为Xi，没有两头奶牛的坐标是相同的。奶牛们的叫声很大，第i 头和第j 头奶牛交流，会发出\(max{Vi, Vj}\) \(×\) \(|Xi − Xj |\) 的音量，其中Vi 和Vj 分别是第i 头和第j 头奶牛的听力。假设每对奶牛之间同时都在说话，请计算所有奶牛产生的音量之和是多少。

输入输出格式

输入格式：

• 第一行：单个整数N，1 ≤ N ≤ 20000

• 第二行到第N + 1 行：第i + 1 行有两个整数Vi 和Xi.

\(1 ≤ Vi ≤ 20000; 1 ≤ Xi ≤ 20000\)

输出格式：

• 单个整数：表示所有奶牛产生的音量之和

输入输出样例

输入样例#1：

4

3 1

2 5

2 6

4 3

输出样例#1：

57

说明

朴素O(N2)

类似于归并排序的二分O(N logN)

树状数组O(N logN)

Solution

首先本着打暴力的心情先打了个\(O(N^2)\),结果数组开小了,然后改了之后就A了???

Code\((N^2)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define lol long long
#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)

using namespace std;

const int N=2e5+10;

void in(int &ans)
{
    ans=0;int f=1; char i=getchar();
    while(i<'0'||i>'9'){if(i=='-') f=-1; i=getchar();}
    while(i>='0'&&i<='9') ans=(ans<<3)+(ans<<1)+i-'0',i=getchar();
    ans*=f;
}

int n,m;
lol ans;
int v[N],p[N];

int main()
{
    in(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) in(v[i]),in(p[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
        ans+=(Max(v[i],v[j]))*(abs(p[i]-p[j]));
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

然后想正解,只有当一头奶牛的比其他奶牛大时才有贡献,所以我们把数据按照听力排序之后就可以消除这一点,即当前奶牛不会对后面的奶牛造成影响,因为它的听力没有后面的奶牛好

那么肯定是需要\(O(N)\)来枚举奶牛的,怎么快速算出它的贡献呢?

设num[i]为x[i]及x[i]前面的奶牛的个数,sum[i]为x[i]前面奶牛的坐标之和

都是前缀和

用一个\(log n\)的数据结构来维护,树状数组\(or\)线段树,复杂度\(O(N*logN)\)

注意:以下说的的之前都指的是在一头奶牛的坐标之前,而不是序号之前

所以每次扫到一头奶牛之后,它对答案的贡献就是

(这头奶牛之前的奶牛的数量\(*\)本头奶牛的坐标-这头奶牛之前的坐标的前缀和)\(*\) \(v[i]\)+(这头奶牛之后的坐标的前缀和-这头奶牛之后的奶牛的数量\(*\)本头奶牛的坐标)\(*\) \(v[i]\)

也就是

\[((num[i-1]*x[i]-sum[i-1])+(sum[maxn]-sum[i])-(num[maxn]-num[i])*x[i])*v[i]
\]

因为我们是一边枚举一边统计,其中maxn为坐标的最大值,用sum[maxn]和num[maxn]来统计当前有多少头奶牛

先统计再插入

这里摆上树状数组的代码

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define lol long long
#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)

using namespace std;

const int N=2e5+10;

void in(int &ans)
{
    ans=0;int f=1; char i=getchar();
    while(i<'0'||i>'9'){if(i=='-') f=-1; i=getchar();}
    while(i>='0'&&i<='9') ans=(ans<<3)+(ans<<1)+i-'0',i=getchar();
    ans*=f;
}

int n,m,maxn;
lol ans;
struct node {
    int v,x;
    bool operator < (const node & a) const {
	if(a.v==v) return x<a.x;
	return v<a.v;
    }
}sub[N];
lol num[N],sum[N];

inline int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

void add(int x,int a,lol *f) {
    while(x<=maxn) {
	f[x]+=a;
	x+=lowbit(x);
    }
}

lol check(int x,lol *f) {
    lol ans=0;
    while(x) {
	ans+=f[x];
	x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    in(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) in(sub[i].v),in(sub[i].x),maxn=Max(maxn,sub[i].x);
    sort(sub+1,sub+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
	lol size,dist;

	size=check(sub[i].x-1,num);
	dist=check(sub[i].x-1,sum);
	ans+=sub[i].v*(size*sub[i].x-dist);

	size=check(maxn,num)-check(sub[i].x,num);
	dist=check(maxn,sum)-check(sub[i].x,sum);
	ans+=sub[i].v*(dist-size*sub[i].x);

	add(sub[i].x,sub[i].x,sum);
	add(sub[i].x,1,num);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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