二项分布。计算binomial(100,50,0.25)将会产生的递归调用次数（算法第四版1.1.27）

算法第四版35页问题1.1.27，估计用一下代码计算binomial(100,50,0.25)将会产生的递归调用次数：

public static double binomial(int n,int k,double p){
   if(n == 0 && k == 0) return 1.0;
   if(n<0 || k<0) return 0.0;
   return (1.0-p)*binomial(n-1,k,p) +p*binomial(n-1,k-1,p)
}

虽然书上只让估计调用次数，但是觉得想知道到底调用了几次。

我用图画出递归调用的情况

可以看出递归中有很多重复调用比如，第4层递归 分别调用了binomial(n-3,k-1,p)和binomial(n-3,k-2,p)三次。这就是这个算法效率低的原因。可以看出重复调用的次数是一个杨辉三角。

根据杨辉三角的性质，

第m层递归函数被调用的情况为：

第m层第x(x<=m)项为：

但是有些调用实际上不会发生，结合函数的返回条件：

if(n == 0 && k == 0) return 1.0;
if(n<0 || k<0) return 0.0;

设我们传入的初始参数为n=N，k=K 则，可以得出已下结论：

1. 当m=N+1且x=K+1时，满足程序退出的第一个条件；
2. 当m>N+1或x>K+1时，满足程序退出的第二个条件（根据杨辉三角的性质，第m行有m项，所有此时有K+1<x<=m）

让我们看看满足以上结论的详细项：

　　1.下列递归调用的x>K+1，满足结论2：

• • 　　m=K+2行的第K+2项:
  • 　　m=K+3行的第K+2项到K+3项：
  • 　　……
  • 　　m=N+1行的第K+2项到最后一项：

　　2.m=N+1行的第K+1项递归调用的第一个参数n和第二个参数k均为0，满足结论1。

　　3.当m=N+2时，显然m>N+1，满足结论2;

如果调用参数满足函数退出条件，那么由调用的递归实际上就不会发生，数量为的系数✖️2。

N+2之后的递归都不会发生，所以做计算时只考虑到N+2层。N+2层的无效调用数量，为N+1层满足结论1或2的调用的数量*2，一次类推，直到K+3层的无效调用数量，为K+2层满足结论1或2的调用数量*2；K+2层到1层上，所有调用都有效；因为K+1层到1层，没有调用满足结论1或2.

根据杨辉三角的性质：从第1层到第N+2层所有的系数和为 

其中不会实际发生的调用次数为从（K+2层到N+1层）：

化简之后为：

再次化简

所以最后程序递归调用的总次数为

运行随机验证几个组合，可以证明上述公式是正确的！