题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4816

\( ans=\prod\limits_{d=1}^{n}f[d]^{\sum\limits_{l=1}^{\frac{n}{d}}\left\lfloor\frac{n}{l*d}\right\rfloor*\left\lfloor\frac{m}{l*d}\right\rfloor} \)

  \(=\prod\limits_{D=1}^{n}\prod\limits_{d|D}f[d]^{\mu(\frac{D}{d})*\left\lfloor\frac{n}{D}\right\rfloor*\left\lfloor\frac{m}{D}\right\rfloor} \)

令 \( g(D)=\prod\limits_{d|D}f(d)^{\mu(\frac{D}{d})} \) ,就能做了。预处理 g 不要 \( \sqrt{n} \) 枚举约数,而 n*ln(n) 枚举倍数。

预处理 g 的前缀积的逆元,回答询问的时候就少一个 log 。

注意指数上是模 (mod-1) !!!

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e6+,mod=1e9+;
int g[N],s[N],sn[N],u[N],pri[N];bool vis[N];
int pw(int x,int k)
{int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;}
void init()
{
int f0=,f1=,lm=1e6,cnt=;
u[]=;
for(int i=;i<=lm;i++)
{
if(!vis[i])pri[++cnt]=i,u[i]=-;
for(int j=;j<=cnt&&(ll)i*pri[j]<=lm;j++)
{
vis[i*pri[j]]=;
if(i%pri[j]==){u[i*pri[j]]=;break;}
u[i*pri[j]]=-u[i];
}
}
for(int j=;j<=lm;j++)g[j]=;
s[]=;
for(int i=;i<=lm;i++)
{
swap(f0,f1);f1+=f0;if(f1>=mod)f1-=mod;
int inv=pw(f1,mod-);
for(int j=i,k=;j<=lm;j+=i,k++)
if(u[k]==)g[j]=(ll)g[j]*f1%mod;
else if(u[k]==-)g[j]=(ll)g[j]*inv%mod;
s[i]=(ll)s[i-]*g[i]%mod;
}
sn[lm]=pw(s[lm],mod-);
for(int i=lm-;i;i--)sn[i]=(ll)sn[i+]*g[i+]%mod;
sn[]=;//
}
int main()
{
int T,n,m;scanf("%d",&T);init();
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);
int ans=;
for(int i=,j;i<=n;i=j+)
{
int d0=n/i,d1=m/i; j=min(n/d0,m/d1);
ans=(ll)ans*pw((ll)s[j]*sn[i-]%mod,(ll)d0*d1%(mod-))%mod;/////%(mod-1)!!!!!
}
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}

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