浅谈 LIS 问题的几种做法

LIS 问题也就是最长不下降子序列问题，是一个经典的问题。

做法一

我们发现可以动态规划，设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 项包含 \(i\) 的 LIS 长度。

有转移方程：

\[f_i=\max_{a_j\leq a_i} f_j +1
\]

可以用 \(O(n^2)\) 的时间复杂度求解

做法二

有一个经典的 \(O(n \log n)\) 求解 LIS 的算法，本质可能类似贪心？

我们设 \(f_i\) 表示长度为 \(i\) 的 LIS 末尾最小为多少。

那么显然，这个 \(f_i\) 具有单调性，可以用二分维护。

具体实现我就不给了，这个不是我们的重点。

做法三

我们都知道经典的 \(O(n \log n)\) 求解 LIS 需要写一个很烦的二分，但是树状数组就不用啦。

观察动态规划转移方程：

\[f_i=\max_{a_j\leq a_i} f_j +1
\]

注意到这就是一个二维偏序问题，所以树状数组轻松解决，对于我这种数据结构爱好者简直是福音。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const LL N=1e5+5;
LL n,a[N],t[N],f[N],mx;
LL lowbit(LL x)
{
	return x&-x;
}
LL query(LL x)
{
	LL ans=0;
	while(x)
	{
		ans=max(ans,t[x]);
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
void update(LL x,LL y)
{
	while(x<=n)
	{
		t[x]=max(t[x],y);
		x+=lowbit(x);
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i]=query(a[i])+1;
		update(a[i],f[i]);
		mx=max(f[i],mx);
	}
	printf("%lld",mx);
}